《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象是由两支曲线组成的。当$ k＞0 $时，两支曲线分别位于第______象限内；当$ k＜0 $时，两支曲线分别位于______象限内。

答案： 一、三；二、四

2. 反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象，当$ k＞0 $时，在每一象限内，y的值随x值的增大而______；当$ k＜0 $时，在每一象限内，y的值随x值的增大而______。

答案： 减小；增大

1. 如图，一次函数$ y = kx + 6 $（k为常数，$ k≠0 $）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且$ OB = 2OA $，与反比例函数$ y = \frac{m}{x} $（m为常数，且$ m≠0 $）的图象交于C，E两点，过点C作$ CD⊥x $轴于点D，且$ OD = 2 $。
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△BOE的面积；
（3）直接写出不等式$ \frac{m}{x}≤kx + 6 $的解集。

答案： （1）在$ y = kx + 6 $中，令$ x = 0 $，得$ y = 6 $，则$ B(0,6) $，$ OB = 6 $，
因为$ OB = 2OA $，所以$ OA = 3 $，则$ A(-3,0) $，
将$ A(-3,0) $代入$ y = kx + 6 $，得$ -3k + 6 = 0 $，解得$ k = 2 $，
一次函数解析式为$ y = 2x + 6 $，
因为$ OD = 2 $，$ CD⊥x $轴，所以$ C(2,y) $，代入$ y = 2x + 6 $得$ y = 10 $，
则$ m = 2×10 = 20 $，反比例函数解析式为$ y = \frac{20}{x} $。
（2）联立$ \begin{cases} y = 2x + 6 \\ y = \frac{20}{x} \end{cases} $，解得$ x = 2 $或$ x = -5 $，则$ E(-5,-4) $，
$ S_{\triangle BOE} = \frac{1}{2}×OB×|x_E| = \frac{1}{2}×6×5 = 15 $。
（3）$ -5≤x＜0 $或$ x≥2 $

2. 已知一次函数$ y = kx + b $的图象和反比例函数$ y = \frac{m}{x} $的图象相交于A（-4，n），B（2，-4）两点，连接OA，OB，直线AB与x轴相交于点C。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标和△OAB的面积；
（3）直接写出不等式$ kx + b＞\frac{m}{x} $的解集。

答案： （1）将$ B(2,-4) $代入$ y = \frac{m}{x} $，得$ m = 2×(-4) = -8 $，反比例函数解析式为$ y = -\frac{8}{x} $，
将$ A(-4,n) $代入$ y = -\frac{8}{x} $，得$ n = 2 $，则$ A(-4,2) $，
将$ A(-4,2) $，$ B(2,-4) $代入$ y = kx + b $，
$ \begin{cases} -4k + b = 2 \\ 2k + b = -4 \end{cases} $，解得$ \begin{cases} k = -1 \\ b = -2 \end{cases} $，一次函数解析式为$ y = -x - 2 $。
（2）令$ y = 0 $，则$ -x - 2 = 0 $，$ x = -2 $，$ C(-2,0) $，
$ S_{\triangle OAB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×4 = 2 + 4 = 6 $。
（3）$ x＜-4 $或$ 0＜x＜2 $