《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于______。

答案： 相似比

2. 相似三角形的周长比等于______，面积比等于相似比的______。

答案： 相似比 平方

1. 如图，△ABC∽△ACD。
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数；
（2）若AD=2，BD=3，求AC的长。

答案： （1）
∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°，
∴∠ACB=2∠ACD=80°。
∵△ABC∽△ACD，
∴∠ADC=∠ACB=80°。
（2）
∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，即$AC^2=AD\cdot AB$。
∵AD=2，BD=3，
∴AB=AD+BD=5，
$AC^2=2×5=10$，
∴AC=$\sqrt{10}$。

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D。
（1）若AB=10，AC=8，AE=5，求AD的长；
（2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE=1，AE=3，求DE的长。

答案： （1）
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，
∴△ADE∽△ACB。
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AD}{8}=\frac{5}{10}$，解得AD=4。
（2）
∵△CEB∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CA}$，即$CB^2=CE\cdot CA$。
∵CE=1，AE=3，
∴CA=CE+AE=4，$CB^2=1×4=4$，
∴CB=2。
AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵ED⊥AB，∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{DE}{2}=\frac{3}{2\sqrt{5}}$，解得DE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$。