《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 有一个角是_________的平行四边形叫作矩形。

答案： 直角

2. 矩形的四个角都是_________。

答案： 直角

3. 矩形的对角线_________。

答案： 相等且互相平分

4. 直角三角形斜边上的中线等于_________。

答案： 斜边的一半

5. 对角线_________的平行四边形是矩形。

答案： 相等

6. 有三个角是_________的四边形是矩形。

答案： 直角

1. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF，DE，AF与DE交于点O。
(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若AB=3，OE=2，BF=5，求DF的长。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵CF=BE，
∴BC=BE + EC=CF + EC=EF，
∴AD=EF。
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD为矩形。
(2)
∵四边形AEFD是矩形，
∴AF=DE，OD=OE=2，DE=2OE=4。
设BE=CF=x，BC=AD=EF=y，BF=BC + CF=y + x=5①。
∵AB=3，AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE²=AB² - BE²=9 - x²。
在Rt△AEF中，AF=DE=4，AF²=AE² + EF²，即16=9 - x² + y²②。
由①得y=5 - x，代入②：16=9 - x² + (5 - x)²，16=9 - x² + 25 - 10x + x²，10x=18，x=1.8，y=3.2。
DF=AE=√(9 - x²)=√(9 - 3.24)=√5.76=2.4=12/5。

2. 如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF。
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若CE=2BE，AE=BE，AB=2，求AC的长。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵BE=DF，
∴AD - DF=BC - BE，即AF=EC。
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AC=EF，
∴四边形AECF是矩形。
(2)设BE=x，则CE=2x，BC=3x，AE=BE=x。
∵AE⊥BC（矩形AECF中，∠AEC=90°），在Rt△ABE中，AB²=AE² + BE²，2²=x² + x²，2x²=4，x²=2，x=√2。
EC=2√2，在Rt△AEC中，AC²=AE² + EC²=x² + (2x)²=5x²=10，AC=√10。