《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 菱形的四条边_________。

答案： 相等

2. 菱形的对角线_________。

答案： 互相垂直平分

3. _________相等的平行四边形是菱形。

答案： 邻边

4. 对角线_________的平行四边形是菱形。

答案： 互相垂直

5. 四边_________的四边形是菱形。

答案： 相等

1. 如图，在△ABC中，AB=BC，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接EO，若EO=2√5，DE=4，求CE的长。

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD。
∵AB=BC，
∴AD=BC。
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形。
(2)设CE=x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB，设BC=CD=a，则BE=BC+CE=a+x。
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，在Rt△DEC中，DE=4，CE=x，
∴CD²=CE²+DE²，即a²=x²+16①。
∵AD//BC，AD=BC=a，BE=a+x，
∴AD=BE - CE=a+x - x=a，即AD=BE - CE，又AD//BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AO=OE=2√5，AE=2OE=4√5。
在Rt△ABE中，AE=4√5，BE=a+x，AB=a，由勾股定理得AB² + BE²=AE²（此处应为AE²=AB² + BE² - 2AB·BE·cos∠ABE，但因ABED是平行四边形，AB//DE，∠ABE=∠DEC=90°，故AE²=AB² + BE²），即(4√5)²=a² + (a+x)²②。
联立①②：80=a² + (a+x)²，将a²=x²+16代入得80=x²+16 + (a+x)²。
又在Rt△DEB中，BD²=DE² + BE²=16 + (a+x)²，菱形对角线互相平分，BO=OD，AO=OC=2√5，AC=4√5，在Rt△AOB中，AB²=AO² + BO²，即a²=(2√5)² + BO²，BO²=a² - 20，BD=2BO，BD²=4(a² - 20)=4a² - 80。
由BD²=16 + (a+x)²得4a² - 80=16 + (a+x)²，(a+x)²=4a² - 96，代入80=a² + 4a² - 96，5a²=176，a²=35.2，与①矛盾，重新考虑：O为AC中点，设OC=AO=m，在Rt△OEC中，OE²=OC² + CE²，即(2√5)²=m² + x²，m²=20 - x²。
在Rt△DEC中，CD²=x² + 16，CD=BC=AB，在△ABC中，AB=BC，AC=2m，由余弦定理：AC²=AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABC=2a² - 2a²cos∠ABC=4m²，cos∠ABC=(2a² - 4m²)/(2a²)=1 - 2m²/a²。
AD//BC，∠BAD + ∠ABC=180°，cos∠BAD=-cos∠ABC=2m²/a² - 1，在△ABD中，AB=AD=a，BD²=2a² - 2a²cos∠BAD=2a² - 2a²(2m²/a² - 1)=4a² - 4m²，与BD²=4(a² - m²)一致。
在Rt△DEB中，BD²=DE² + BE²=16 + (a + x)²=4(a² - m²)=4a² - 4m²，即16 + (a + x)²=4a² - 4(20 - x²)，16 + a² + 2ax + x²=4a² - 80 + 4x²，3a² - 2ax + 3x²=96，由①a²=x² + 16，代入得3(x² + 16) - 2ax + 3x²=96，6x² - 2ax=48，3x² - ax=24，ax=3x² - 24，a=(3x² - 24)/x。
代入①：[(3x² - 24)/x]²=x² + 16，(9x⁴ - 144x² + 576)/x²=x² + 16，9x⁴ - 144x² + 576=x⁴ + 16x²，8x⁴ - 160x² + 576=0，x⁴ - 20x² + 72=0，(x² - 10)²=28，x²=10±2√7（舍负），发现错误，改用坐标法：设C为原点(0,0)，E为(x,0)，D为(x,4)，
∵AD//BC，设B为(-b,0)，BC=b，AB=BC=b，A为(-b + d, e)，AD//BC，AD=b，D为(-b + d + b, e)=(d, e)，又D(x,4)，
∴d=x，e=4，A(-b + x,4)，AB=b，AB²=(-b + x + b)² + (4 - 0)²=x² + 16=b²，即①成立。
AC中点O为((-b + x + 0)/2, (4 + 0)/2)=((x - b)/2, 2)，EO=2√5，E(x,0)，
∴[(x - (x - b)/2]² + (0 - 2)²=(2√5)²，[(x + b)/2]² + 4=20，(x + b)²=64，x + b=8（x,b＞0），b=8 - x，代入①：x² + 16=(8 - x)²，x² + 16=64 - 16x + x²，16x=48，x=3，即CE=3。

2. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2√10，BD=4，求OE的长。

答案：
(1)
∵AB//DC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=2，OA=OC。
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，∠ACE + ∠CAE=90°。
∵∠ABO=∠ACE，∠ABO + ∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD=2，AB=2√10。
在Rt△AOB中，AO² + BO²=AB²，AO² + 2²=(2√10)²，AO²=40 - 4=36，AO=6，AC=12，OC=6。
∵CE⊥AB，∠AOB=∠AEC=90°，∠OAB=∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴AO/AE=AB/AC=BO/CE，6/AE=2√10/12=2/CE，AE=36/√10=18√10/5，CE=12/√10=6√10/5。
BE=AE - AB=18√10/5 - 2√10=8√10/5。
在Rt△OEC中，OE²=OC² + CE² - 2OC·CE·cos∠OCE（或在Rt△OEB中，OE²=OB² + BE² - 2OB·BE·cos∠OBE，因∠OBE=∠OBA，cos∠OBA=BO/AB=2/(2√10)=1/√10），OE²=2² + (8√10/5)² - 2×2×(8√10/5)×(1/√10)=4 + 640/25 - 32/5=4 + 128/5 - 32/5=4 + 96/5=116/5，OE=√(116/5)=2√145/5（错误），正确：在Rt△AEC中，OE为斜边AC中线，OE=AC/2=6。