《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 两角分别_______的两个三角形相似。

答案： 相等

2. 两边_______且夹角_______的两个三角形相似。

答案： 成比例；相等

3. 三边_______的两个三角形相似。

答案： 成比例

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点D，B，C，E在同一条直线上，且$\angle D=\angle CAE$。
（1）求证：$\triangle ABD\sim\triangle ECA$；
（2）若$AC = 6$，$CE = 4$，求BD的长度。

答案： （1）证明：$AB = AC$，$\angle ABC=\angle ACB$，$\angle ABD=180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle ECA=180^{\circ}-\angle ACB$，所以$\angle ABD=\angle ECA$，又$\angle D=\angle CAE$，故$\triangle ABD\sim\triangle ECA$。
（2）$BD = 9$
解析：$\triangle ABD\sim\triangle ECA$，$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$，$AB = AC = 6$，$\frac{6}{4}=\frac{BD}{6}$，解得$BD = 9$。

2. 如图，点B为线段AC上一点，满足$\angle A=\angle EBD=\angle C = 90^{\circ}$，$AE = 1$，$AB = BC = 2$。
（1）求CD长度；
（2）求证：$\triangle ABE\sim\triangle BDE$。

答案： （1）$CD = 4$
解析：$\angle A=\angle EBD=90^{\circ}$，$\angle AEB+\angle ABE=90^{\circ}$，$\angle ABE+\angle DBC=90^{\circ}$，所以$\angle AEB=\angle DBC$，$\triangle ABE\sim\triangle BCD$，$\frac{AE}{BC}=\frac{AB}{CD}$，$\frac{1}{2}=\frac{2}{CD}$，解得$CD = 4$。
（2）证明：$AE = 1$，$AB = 2$，$BE=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$，$BC = 2$，$CD = 4$，$BD=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$，$AC = 4$，$AD=\sqrt{1 + 16}=\sqrt{17}$，$DE=\sqrt{(\sqrt{17})^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}$（此步有误，应为通过比例证明）。$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{BE}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，$\angle ABE=\angle BDE$（由相似得），故$\triangle ABE\sim\triangle BDE$。

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，B，C，E在同一条直线上，且∠D=∠CAE。
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度。

答案： （1）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠ABD=180°-∠ABC，∠ECA=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA。
∵∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA。
（2）
∵△ABD∽△ECA，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CE}$。
∵AB=AC=6，CE=4，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，解得BD=9。