《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。

答案： 无

2. 黄金比$\frac{AC}{AB}=$______≈0.618。

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

1. （1）已知线段AB，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作BM⊥AB；②在BM上截取BC=$\frac{1}{2}$AB，连接AC；③以点C为圆心，以CB长为半径作弧，交AC于点N；④以点A为圆心，以AN长为半径作弧，交AB于点P。
（2）求证：点P是线段AB的黄金分割点。

答案： （1）作图略
（2）设AB=2a，则BC=a。
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$。
∵CN=CB=a，
∴AN=AC-CN=$\sqrt{5}a - a = (\sqrt{5}-1)a$。
∵AP=AN=($\sqrt{5}-1$)a，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点P是线段AB的黄金分割点。

2. 以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：$AM^2=AD\cdot DM$；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？

答案： （1）
∵正方形ABCD中，AB=AD=2，P为AB中点，
∴AP=1。
PD=$\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
PF=PD=$\sqrt{5}$，AF=PF-AP=$\sqrt{5}-1$。
∵正方形AMEF中，AM=AF=$\sqrt{5}-1$，
DM=AD-AM=2-($\sqrt{5}-1$)=3-$\sqrt{5}$。
（2）$AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6 - 2\sqrt{5}$，
AD·DM=2×(3-$\sqrt{5}$)=6 - 2$\sqrt{5}$，
∴$AM^2=AD\cdot DM$。
（3）点M是AD的黄金分割点。