《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有_________的所有性质。

答案： 矩形和菱形

2. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等、对角线_________。

答案： 相等且互相垂直平分

3. 对角线相等的_________是正方形。

答案： 菱形

4. 对角线垂直的_________是正方形。

答案： 矩形

5. 有一个角是直角的_________是正方形。

答案： 菱形

1. 如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF//AE。
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)当∠A=_________°时，四边形BECF是正方形；
(3)在(2)的条件下，若AC=4，则四边形ABFC的面积为_________。

答案：
(1)
∵EF是BC垂直平分线，
∴BE=CE，BF=CF，BD=CD。
∵CF//AE，
∴∠CFE=∠AEF。
∵∠EDB=∠EDC=90°，ED=ED，
∴△EDB≌△EDC（ASA），
∴BE=CE，同理BF=CF，∠BEF=∠CEF。
∵CF//AE，
∴∠CFE=∠BEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴BE=CE=CF=BF，四边形BECF是菱形。
(2)45
(3)24

2. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE=AF，∠CEF=45°。
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若AF=3√2，BE=1，求四边形ABCD的面积。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，∠B=∠D=90°。
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=45°，CE=CF。
∵AE=AF，AB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF。
设BE=DF=x，CE=CF=y，则BC=BE + CE=x + y，CD=CF + DF=y + x，
∴BC=CD，矩形ABCD是正方形。
(2)设正方形边长为a，则DF=BE=1，CF=CE=a - 1。
在Rt△ADF中，AF²=AD² + DF²，(3√2)²=a² + 1²，18=a² + 1，a²=17，四边形ABCD面积为17。