《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.解下列方程：(1)x²-7x+8=0；(2)(x-4)²=2x-8。

答案：
(1)$\Delta=(-7)² - 4×1×8=49 - 32=17$，$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2}$，即$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$。
(2)移项得$(x - 4)² - 2(x - 4)=0$，因式分解得$(x - 4)(x - 4 - 2)=0$，即$(x - 4)(x - 6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。

2.米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共需2110元，敖丙手办共需1000元。
(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
(2)经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低m元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了2m个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值。

答案：
(1)设敖丙手办单价为$x$元，哪吒手办单价为$1.3x$元。$\frac{2110}{1.3x}-\frac{1000}{x}=14$，解得$x=50$，经检验$x=50$是方程的解。哪吒手办单价$1.3×50=65$元。
(2)原计划哪吒手办数量$\frac{2110}{65}=32$个，敖丙手办数量$\frac{1000}{50}=20$个。根据题意得$(65 - 3m)(32 + 2m)+(50 - m)(20 + 2)=2110 + 1000 + 100$，整理得$-6m² + 26m=0$，解得$m_1=0$（舍去），$m_2=\frac{13}{3}$。

3.(1)在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，DE//AB，AC=6AD，点P为边DE上一点，则S△PAB:S△CAB=________；
(2)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点。在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3，试在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的。

答案：
(1)$\frac{5}{6}$
解析：因为AC=6AD，所以CD=$\frac{5}{6}$AC，又DE//AB，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{5}{6}$，△PAB与△CAB同底AB，高的比为$\frac{5}{6}$，面积比为$\frac{5}{6}$。
(2)作图步骤：连接格点构造等积三角形，找到满足面积比的交点P（具体作图略，说明：通过将BC等分为3份，AB等分为1份，利用平行线构造面积比）。