《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

1. 某水果店推出的一款水果拼盘套餐受到了广大消费者的喜爱，每天的销售量 $ y $（盒）与销售单价 $ x $（元）之间存在一次函数关系（如下表所示）。已知该水果拼盘套餐的成本为 30 元/盒。

(1) 求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2) 当销售单价为 65 元时，求当天的销售利润。（销售利润 $ =$ 销售额 $ -$ 成本）

答案： 1.解：
(1)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b.由题意，得 $\begin{cases}40k + b = 220\\50k + b = 200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 300\end{cases}$，
∴y 与 x 之间的关系式为 y = -2x + 300.
(2)由
(1)可知，当 x = 65 时，y = -2×65 + 300 = 170，
∴65×170 - 30×170 = 5950(元).答：当销售单价为 65 元时，当天的销售利润为 5950 元.

2. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 6 元/件。该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30 天)的试销售，售价为 8 元/件。工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象(如图所示)，图中的折线 $ ODE $ 表示日销售量 $ y $(件)与销售时间 $ x $(天)之间的函数关系。已知线段 $ DE $ 表示的函数关系中时间每增加 1 天，日销售量减少 5 件。
(1) 第 17 天的日销售量是340件，日销售利润是680元。
(2) 求试销售期间日销售利润的最大值。

答案： 2.解：
(1)340 680
(2)根据图象易得，直线 OD 的表达式为 y = 20x，直线 DE 的表达式为 y = -5x + 450. 联立$\begin{cases}y = 20x\\y = -5x + 450\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 18\\y = 360\end{cases}$，
∴折线 ODE 的最高点 D 的坐标为(18,360).360×(8 - 6) = 720(元)，
∴当 x = 18 时，日销售利润最大，最大利润为 720 元.

3. (2023·吉林) 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变。合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务。甲、乙两组挖掘的长度之和 $ y $(m)与甲组挖掘时间 $ x $(天)之间的关系如图所示。
(1) 甲组比乙组多挖掘了30天。
(2) 求乙组停工后，$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(3) 当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数。

答案： 3.解：
(1)30
(2)设乙组停工后，y 关于 x 的函数表达式为 y = kx + b.
∵点(30,210)，(60,300)在图象上，
∴$\begin{cases}30k + b = 210\\60k + b = 300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = 120\end{cases}$，
∴y 关于 x 的函数表达式为 y = 3x + 120(30≤x≤60).
(3)10 天.

4. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 $ y $(m)与挖掘时间 $ x $(h)之间的函数关系如图所示。请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1) 甲队在开挖后 $ 6 $ h 内，每小时挖10m。
(2) 当 $ 2 \leq x \leq 6 $ 时，求 $ y_{乙} $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(3) 直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 $ 5 $ m。

答案： 4.解：
(1)10
(2)设当 2≤x≤6 时，$y_Z$ 与 x 之间的关系式为 $y_Z = kx + b(k≠0)$.
∵函数图象过点(2,30)，(6,50)，
∴$\begin{cases}2k + b = 30\\6k + b = 50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 5\\b = 20\end{cases}$，
∴当 2≤x≤6 时，$y_Z$ 与 x 之间的关系式为 $y_Z = 5x + 20$.
(3)开挖后 1 h 或 3 h 或 5 h，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 5 m.