《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

10. 在Rt△ABC中，斜边$BC=10$，则$BC^{2}+AB^{2}+AC^{2}=$(C)

A.20
B.100
C.200
D.144

答案： C

11. 如图，在Rt△ABC中，若$∠C=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，则点C到直线AB的距离为(D)

A.3
B.4
C.5
D.2.4

答案： D

12.(教材P9习题T6变式)已知等腰三角形的腰长为5cm，底边上的中线长为4cm，则它的面积是(D)

A.$24cm^{2}$
B.$20cm^{2}$
C.$15cm^{2}$
D.$12cm^{2}$

答案： D

13. 如图所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是4，6，2，4，则最大正方形E的面积是(C)

A.12
B.14
C.16
D.18

答案： C

14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任意一点，则$PB^{2}-PA^{2}$的值为12.

答案： 12

15. 如图，在四边形草坪ABCD中，$∠B=∠D=90^{\circ}$.若$AB=20m$，$BC=15m$，$CD=7m$，求这块草坪ABCD的面积.

答案： 解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC² = AB² + BC² = 20² + 15² = 625 = 25².
∴AC = 25 m.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD² + CD² = AC²，
∴AD² = AC² - CD² = 24².
∴AD = 24 m.
∴S四边形$ABCD = \frac{1}{2}AB·BC + \frac{1}{2}AD·CD = \frac{1}{2}×$
$20×15 + \frac{1}{2}×24×7 = 234(m²).$
∴这块草坪ABCD的面积为
234 m².

16. 人大附中校本经典题根据勾股定理知识迁移，解答下列问题.
（1）如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，求它们的面积$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间满足的等量关系.
（2）应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆.若$a=3$，$c=5$，求图中阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)设S₁，S₂，S₃分别对应直径为a，b，c，根据勾股定理，得
a² + b² = c².由图，得$S₁ = \frac{1}{2}π(\frac{a}{2})² = \frac{π}{8}a²，$同理可得，$S₂ = \frac{π}{8}b²，$$S₃ = \frac{π}{8}c²，$
∴$S₁ + S₂ = \frac{π}{8}a² + \frac{π}{8}b² = \frac{π}{8}(a² + b²) = \frac{π}{8}c² = S₃.(2)$设以a，b，c为直径的三个半圆的面积分别为P，Q，R，以a，b为直角边的直角三角形的面积为S₄.
∵a = 3，c =
5，
∴b² = c² - a² = 5² - 3² = 16 = 4².
∴b = 4.
∴$S₄ = \frac{1}{2}ab =$
$\frac{1}{2}×3×4 = 6.$由
(1)知，P + Q = R，
∴阴影部分的面积为S =
P + Q + S₄ - R = S₄ = 6.