《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

14. A 湖南师大附中校本经典题 某小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区. 具体规划如图所示，其中 A 区和 B 区为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是$270 m^2$和$120 m^2$，则 A 区和 B 区的总面积为360$m^2$.

答案： 360

15. 计算：
(1)$\sqrt{2} × (\sqrt{32} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - 1)^2$.

答案：
(1)原式$=\sqrt{64}-1-(\sqrt{9}+\sqrt{4})=8-1-(3+2)=7-5=2.(2)$原式$=5-2-(5-2\sqrt{5}+1)=5-2-6+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3.$

$16. $新考向$ $阅读理解$ $阅读材料：　　
像$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1，$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a(a \geqslant 0)$这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式$. $在进行二次根式的运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号$. $数学课上，老师出了一道题：$“$已知$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}，$求$3a^2 - 6a - 1$的值$.”$　　
聪明的小明同学根据上述材料，作了这样的解答：　　
$\because a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1，$　　
$\therefore a - 1 = \sqrt{2}. \therefore (a - 1)^2 = 2.$　　
$\therefore a^2 - 2a + 1 = 2，$即$a^2 - 2a = 1.$　　
$\therefore 3a^2 - 6a = 3.$　　
$\therefore 3a^2 - 6a - 1 = 3 - 1 = 2.$　　
请根据小明的解答过程，解决下列问题：　　
$(1)$化简：$\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = $　　$\sqrt{10}+3$　　$.$　　
$(2)$若$a = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}，$求$2a^2 - 12a - 1$的值$.$　　

答案： $(1)\sqrt{10}+3 (2)\because a=-\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=-\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2},\therefore a-3=-2\sqrt{2}.\therefore (a-3)^2=8.\therefore a^2-6a+9=8,$即$ a^2-6a=-1.\therefore 2a^2-12a=-2.\therefore 2a^2-12a-1=-2-1=-3.$

1. (2024·甘南州) 已知$x$，$y$为实数，若满足$y=\sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}+2$，则$x^y$的值为(D)

A.5
B.6
C.8
D.9

答案： D

2. 已知$a$满足$|2024 - a|+\sqrt{a - 2025}=a$，则$a - 2024^2$的值为2025.

答案： 2025

3. (2024·成都) 若$m$，$n$为实数，且$(m + 4)^2+\sqrt{n - 5}=0$，则$(m + n)^2$的值为1.

答案： 1

4. 代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最大值是3.

答案： 3

5. 若$a+\sqrt{a - 2}=2$，求$\sqrt{a + 2}$的值.

答案： 解：$\because a + \sqrt{a - 2} = 2$，$\therefore \sqrt{a - 2} = 2 - a$。$\because a - 2 \geq 0$，$2 - a \geq 0$，
$\therefore a = 2$。$\therefore \sqrt{a + 2} = \sqrt{4} = 2$。