《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

1. (2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为 $\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 $\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$$\frac{22}{7}$。(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： ＞

2. 比较大小：$\sqrt[3]{20}$$3$。(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： ＜

3. 兰生复旦校本经典题 综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数 $a,b$，若 $a＞b$，则 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。随后讲解了一道例题：
试比较 $2\sqrt{3}$ 和 $3\sqrt{2}$ 的大小。
解：$(2\sqrt{3})^{2}=12$，$(3\sqrt{2})^{2}=18$，
$\because 12 ＜ 18$，
$\therefore 2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$。
参考例题的解法，解答下列问题：
(1) 比较 $-3\sqrt{5}$ 和 $-5\sqrt{3}$ 的大小。
(2) 比较 $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ 的大小。

答案：
(1)$(3\sqrt{5})^{2}=45$，$(5\sqrt{3})^{2}=75$，$\because45＜75$，$\therefore3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$.$\therefore -3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$.
(2)$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}=8 + 4\sqrt{3}$，$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}=8+2\sqrt{15}$，$\because(4\sqrt{3})^{2}=48$，$(2\sqrt{15})^{2}=60$，$48＜60$，$\therefore4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$.$\therefore8 + 4\sqrt{3}＜8 + 2\sqrt{15}$，$\therefore\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$.

4. 课堂上，老师出了一道题：比较 $\frac{\sqrt{19}-2}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$ 的大小。
小明的解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2 - 2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$。
$\because 19＞16$，$\therefore \sqrt{19}＞4$。$\therefore \sqrt{19}-4＞0$。
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$。$\therefore \frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$。
我们把这种比较大小的方法称为作差法。
请利用上述方法比较实数 $\frac{\sqrt{94}-3}{9}$ 与 $\frac{2}{3}$ 的大小。

答案： $\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{94}-3}{9}-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{94}-9}{9}$.$\because94＞81$，$\therefore\sqrt{94}＞9$，$\therefore\sqrt{94}-9＞0$，$\therefore\frac{\sqrt{94}-9}{9}＞0$，$\therefore\frac{\sqrt{94}-3}{9}＞\frac{2}{3}$.

5. 用作商法比较大小：$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 与 $\frac{\sqrt{5}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$，$\because(2\sqrt{7})^{2}=28$，$5^{2}=25$，$\therefore2\sqrt{7}＞5$，$\therefore\frac{2\sqrt{7}}{5}＞1$.$\therefore\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$.

6. 新考向 阅读理解 认真阅读下列解答过程：
比较 $2-\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 的大小。
解：$\because \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
又 $\because 2＞\sqrt{2}$，
$\therefore 2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$。$\therefore \frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
$\therefore 2-\sqrt{3}＜\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
请仿照上述方法比较 $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}-2$ 的大小。

答案： $\because\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{1}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，又$\because\sqrt{6}＞2$，$\therefore\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2$.$\therefore\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，$\therefore\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$.