《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

15. 已知点 $ A(a - 1,b + 2) $，$ B(3,4) $，$ C(-1,-2) $ 在同一个平面直角坐标系中，且 $ AB $ 所在的直线平行于 $ x $ 轴，$ AC $ 所在的直线平行于 $ y $ 轴，则 $ a + b = $2.

答案： 15.2

16. 如图，在以点 $ O $ 为原点的平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (a,0) $，$ (a,b) $，点 $ C $ 在 $ y $ 轴上，且 $ BC // x $ 轴，$ a $，$ b $ 满足 $ |a - 3| + \sqrt{b - 4} = 0 $. 点 $ P $ 从原点出发，以 $ 1 $ 个单位长度/秒的速度沿着 $ O - A - B - C - O $ 的路线运动（回到点 $ O $ 为止）.
(1) 直接写出点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标.
(2) 当点 $ P $ 运动 $ 5 $ 秒时，求出点 $ P $ 的坐标.

(3) 点 $ P $ 运动 $ t $ 秒后 $ (t \neq 0) $，是否存在点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ \frac{1}{2}t $ 个单位长度的情况. 若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
16.解:
(1)A(3,0),B(3,4),C(0,4).
(2)当点P运动5秒时，点P运动了1×5 = 5个单位长度.
∵AO = 3,AB = 4,
∴点P运动5秒时，点P在线段AB上.
∵AP = 5 - 3 = 2,
∴点P的坐标是(3,2).
(3)存在.如图.
∵t≠0,
∴点P可能运动到AB或BC或OC上.①当点P运动到AB上，即0＜t≤7时,P₁A = t - OA = t - 3,
∴t - 3 = $\frac{1}{2}$t,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得t = 6.
∴P₁A = 1×6 - 3 = 3.
∴点P₁的坐标为(3,3);②当点P运动到BC上，即7＜t≤10时，点P₂到x轴的距离为4,
∴$\frac{1}{2}$t = 4,解得t = 8.
∴P₂C = 3 + 4 + 3 - 1×8 = 2.
∴点P₂的坐标为(2,4);③当点P运动到OC上，即10＜t≤14时,P₃O = OA + AB + BC + OC - t = 14 - t,
∴14 - t = $\frac{1}{2}$t,解得t = $\frac{28}{3}$.
∵$\frac{28}{3}$＜10,
∴此情况不符合题意，舍去.综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}$t个单位长度的情况，点P的坐标为(3,3)或(2,4).

【例】若点 $ M(5 + a,a - 3) $ 在第二、四象限的角平分线上，则 $ a = $ -1.
分析：在第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，由此，利用相反数的概念列一元一次方程即可得解.

答案： -1

1. 在平面直角坐标系中，若点 $ P(2m - 3,3m - 1) $ 在第一、三象限的角平分线上，则点 $ P $ 的坐标为 (－7，－7).

答案： 1.(－7，－7)

2. 如图，在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上分别截取 $ OA $，$ OB $，使 $ OA = OB $，再分别以点 $ A $，$ B $ 为圆心，大于 $ \dfrac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $ P $.若点 $ P $ 的坐标为 $ (a,2a - 3) $，则 $ a $ 的值为 3.

答案： 2.3

3. 已知点 $ P(2a + 5,10 - 3a) $ 位于两坐标轴所成角的平分线上，则点 $ P $ 的坐标为 (7,7)或(35，－35).

答案： 3.(7,7)或(35，－35)