《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

$【$例$ 1】$如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}，$$AC = 10，$$BC = 6，$$EF$为$AB$的垂直平分线，求$AE$的长$.$　　
解题思路：连接$BE，$设$AE = x，$则$BE = x，$$CE =$　　$10 - x$　　$.$　　
根据勾股定理，得$CE^{2} + BC^{2} = BE^{2}，$　　
可列方程为　　$(10 - x)^2 + 6^2 = x^2$　　$.$　　
解得$x =$　　$\frac{34}{5}$　　$.$　　

答案： $10 - x \ (10 - x)^2 + 6^2 = x^2 \ \frac{34}{5}$

1. (2023·随州)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$BC = 6$，$D$为$AC$上一点. 若$BD$是$\angle ABC$的平分线，则$AD =$5.

答案： 1.5

$【$例$ 2】$如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 15，$$BC = 14，$$AC = 13，$$AD\perp BC，$求$BD$的长$.$　　
解题思路：设$BD = x，$则$CD =$　　$14 - x$　　$.$　　
根据勾股定理，得$AD^{2} = AB^{2} - BD^{2} = AC^{2} - CD^{2}，$可列方程为　　$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$　　$.$　　
解得$x =$　　$9$　　$.$　　

答案： $14 - x \ 15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2 \ 9$

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 4$，$AC = 13$，$AB = 15$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 2.解：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$.设$CD = x$,则$BD = 4 + x$. $\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$, $\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$,解得$x = 5$.
$\therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = 144$. $\therefore AD = 12$. $\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = 24$.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，$BD = 2$，$CD = 4$，求$AD$的长.

答案： 3.解：设$AD = x$.在$Rt \triangle ACD$中,$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$,在$Rt \triangle BCD$中,$BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$,在$Rt \triangle ABC$中,$AC^2 + BC^2 = AB^2$,即$x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$,解得$x = 8$.
$\therefore AD = 8$.