《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

10. 人大附中校本经典题 如图,在正方形 $ ABCD $ 中, $ E $ 是 $ BC $ 的中点, $ F $ 是 $ CD $ 上一点,且 $ CF = \dfrac{1}{4}CD $,试说明: $ \angle AEF = 90° $.

答案： 解：$\because$四边形ABCD为正方形,$\therefore AB=BC=CD=DA$,$\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$.设$AB=BC=CD=DA=4a$.$\because$E是BC的中点,且$CF=\frac{1}{4}CD$,$\therefore BE=EC=2a$,$CF=a$.$\therefore DF=4a - a=3a$.在Rt$\triangle ABE$中,由勾股定理,得$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=20a^{2}$.同理可得,$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}=5a^{2}$,$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=25a^{2}$.$\because AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$,$\therefore \triangle AEF$为直角三角形.$\therefore \angle AEF=90^{\circ}$.

11. 如图,学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地 $ ABCD $,测得 $ AB = 9 \ m $, $ BC = 12 \ m $, $ CD = 8 \ m $, $ AD = 17 \ m $,且 $ \angle ABC = 90° $,则这块菜地的面积是 (B)

A.$ 48 \ m^2 $
B.$ 114 \ m^2 $
C.$ 122 \ m^2 $
D.$ 158 \ m^2 $

答案： B

12. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形 $ ABCD $,对角线 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ O $.若 $ AD = 2 $, $ BC = 4 $,则 $ AB^2 + CD^2 = $ 20.

答案： 20

13. (教材 P21 新增复习题 T8 变式)《九章算术》卷九“勾股”中记载:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”大意:如图,水池底面的宽 $ AB = 1 $ 丈,芦苇 $ OC $ 生长在 $ AB $ 的中点 $ O $ 处,高出水面的部分 $ CD = 1 $ 尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即 $ OC = OE $,求水池的深度和芦苇的长度. (1 丈 $ = 10 $ 尺).
(1)求水池的深度 $ OD $.
(2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽 $ AB = 2a $,芦苇高出水面的部分 $ CD = n(n ＜ a) $,则水池的深度 $ OD(OD = b) $ 可以通过公式 $ b = \dfrac{a^2 - n^2}{2n} $ 计算得到.请说明刘徽解法的正确性.

答案：
(1)设芦苇的长为$x$尺,则$OC=OE=x$尺,$OD=(x - 1)$尺,$DE = 5$尺.在Rt$\triangle ODE$中,$\angle ODE = 90^{\circ}$,由勾股定理,得$DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}$.$\therefore 5^{2}+(x - 1)^{2}=x^{2}$,解得$x = 13$.$\therefore OD=13 - 1=12$(尺).
答:水池的深度OD为12尺.
(2)$\because OD = b$,$CD = n$,$AB = 2a$,$\therefore OC=OE=b + n$,$DE = a$.在Rt$\triangle ODE$中,$\angle ODE = 90^{\circ}$,由勾股定理,得$DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}$.$\therefore a^{2}+b^{2}=(b + n)^{2}$,解得$b=\frac{a^{2}-n^{2}}{2n}$.

14. 新考向 数学文化 石家庄外国语校本经典题 《九章算术》是我国古代的数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读 kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何? 题目大意:如图 1、图 2(图 2 为图 1 的平面示意图),从点 $ O $ 处推开双门,双门间隙 $ CD $ 的长度为 2 寸,点 $ C $ 和点 $ D $ 到门槛 $ AB $ 的距离都为 1 尺(1 尺 $ = 10 $ 寸),则 $ AB $ 的长是 (B)

A.104 寸
B.101 寸
C.52 寸
D.50.5 寸

答案： B