《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

1. 用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理.

(1)图2中大正方形的边长为a+b，里面小正方形的边长为c.
(2)大正方形面积可以表示为$(a+b)^2$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab + c^2$.
(3)对比这两种表示方法，可得出$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$，整理，得$c^2 = a^2 + b^2$.

答案： $1.(1)a+b c (2)(a+b)^2 4 × \frac{1}{2}ab + c^2 (3)(a+b)^2 = 4 × \frac{1}{2}ab + c^2 c^2 = a^2 + b^2$

2. (教材P8习题T3变式)如图，一棵高为8m的大树被台风刮断.若树在离地面3m的点C处折断，则树顶端落在离树底部(A)

A.4m处
B.5m处
C.6m处
D.7m处

答案： 2.A

3. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为100mm.

答案： 3.100

4. 新考向 真实情境(教材P6随堂练习T1变式)如图，AC⊥BC，原计划从A地经C地到B地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由A地到B地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为2km.已知高速公路每千米造价为3000万元，隧道高速公路每千米造价为5000万元，AC=80km，BC=60km，则改建后可节省的工程费用是多少?

答案： 4.解：在Rt△ABC中，$AB^2 = BC^2 + AC^2，$
∴$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 80^2 + 60^2 = 10000. $
∴AB = 100km. (80 + 60)×3000 - (100 - 2)×3000 - 2×5000 = 116000(万元). 答：改建后可节省的工程费用是116000万元.

5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米.若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为(C)

A.2.5米
B.2.6米
C.2.7米
D.2.8米

答案： 5.C

6. (2024·眉山)图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(D)

A.24
B.36
C.40
D.44

答案： 6.D

7. (教材P9习题T7变式)如图，某隧道的截面是一个半径为5.2m的半圆形，以中间线为界分成两条车道，试问一辆高4.1m、宽3m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗?(中间线宽忽略不计)

答案： 7.解：过圆上一点A作地面的垂线，垂足为B(不与点O重合). 当BO = 3m时，$AB^2 = AO^2 - OB^2 = 5.2^2 - 3^2 = 18.04，$
∵$4.1^2 = 16.81 ＜ 18.04，$
∴一辆高4.1m、宽3m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道.