《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形(A)

A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形

答案： A

13. △ABC 的三边长分别为 a，b，c，下列条件：① $ ∠A=∠B - ∠C $；② $ ∠A:∠B:∠C=3:4:5 $；③ $ a^{2}=(b + c)(b - c) $；④ $ a:b:c=5:12:13 $。其中能判定△ABC 是直角三角形的有(C)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

14. 新考向 数学文化 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为 2 的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17……若此类勾股数的勾为 10，则其弦是26。

答案： 26

15. 如图，正方形 ABCD 由 9 个边长为 1 的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接 AE，AF，则 $ ∠EAF= $45°。

答案： 45

16. 图 1 是某品牌婴儿车，图 2 为其简化结构示意图.根据安全标准需满足 BC⊥CD，现测得 AB = CD = 6 dm，BC = 3 dm，AD = 9 dm，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 $ 90^{\circ} $的零件连接（即 $ ∠ABD=90^{\circ} $），通过计算说明该车是否符合安全标准。
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答案： 解：在${\rm Rt}\triangle ABD$中，$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$，在$\triangle BCD$中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45$，$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$.$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$.$\therefore BC\perp CD$.故该车符合安全标准.

17. 新考向 推理能力 A 清华附中校本经典题 我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61。
(2)若第一个数用字母 a(a 为奇数，且 $ a≥3 $)表示，则后两个数用含 a 的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$ 4=\frac{3^{2}-1}{2} $，$ 12=\frac{5^{2}-1}{2} $，$ 24=\frac{7^{2}-1}{2} $……于是他很快表示出了第二个数为 $ \frac{a^{2}-1}{2} $，则用含 a 的代数式表示第三个数为$\frac{a^{2}+1}{2}$。
(3)用所学知识说明(2)中用字母 a 表示的三个数是勾股数。

答案：
(1)$60$ $61$
(2)$\frac{a^{2}+1}{2}$
(3)$\because a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=$$\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$\therefore a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=$$(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$.又$\because a$为奇数，且$a\geqslant3$，$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$都是正整数.$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数.