《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

12. 若正比例函数的图象经过点 $ (4,-5) $，则这个图象必经过点 (D)

A.$ (-5,-4) $
B.$ (4,5) $
C.$ (5,-4) $
D.$ (-4,5) $

答案： D

13. 若点 $ P(x_1,y_1) $，$ Q(x_2,y_2) $ 在正比例函数 $ y = mx $ 的图象上，且当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，则 $ m $ 的值可以是 (D)

A.$ 2 $
B.$ 0 $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \sqrt{3} - 2 $

答案： D

14. 我们知道，通过列表、描点、连线可以画出一个函数的图象. 在画完函数 $ y = 2x $ 的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数 $ y = 2x $ 的图象经过第一、三象限吗?”聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y = 2x ＞ 0 $，此时描出的点都在第一象限；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y = 2x ＜ 0 $，此时描出的点都在第三象限. 所以函数 $ y = 2x $ 的图象一定经过第一、三象限.”大家不禁为善于思考的小亮鼓掌. 最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数 $ y = \sqrt{x} $ 的图象 (C)

答案： C

15. 若 $ k ＞ 0 $，$ x ＞ 0 $，则关于函数 $ y = kx $ 的结论：① $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；② $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；③ $ y $ 恒为正数；④ $ y $ 恒为负数. 其中正确的是①③.(填序号)

答案： ①③

16. 已知 $ y - 2 $ 与 $ 3x - 4 $ 成正比例，且当 $ x = 2 $ 时，$ y = 3 $.
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式.
(2)若点 $ P(a,-3) $ 在这个函数的图象上，求 $ a $ 的值.
(3)若 $ y $ 的取值范围为 $ -1 \leq y \leq 1 $，求 $ x $ 的最小值.

答案：
(1)由题意,设$y-2=k(3x-4)$.将$x=2,y=3$代入,得$2k=1$,解得$k=\frac{1}{2}.\therefore y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即$y=\frac{3}{2}x$.
(2)将点$P(a,-3)$代入$y=\frac{3}{2}x$,得$\frac{3}{2}a=-3$,解得$a=-2$.
(3)在$y=\frac{3}{2}x$中,$\because\frac{3}{2}＞0,\therefore y$随$x$的增大而增大.$\therefore$当$x$取最小值时,$y$值最小.当$y=-1$时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得$x=-\frac{2}{3}.\therefore x$的最小值为$-\frac{2}{3}$.

17. 如图，已知正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $，点 $ A $ 在第四象限，过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴，垂足为 $ H $，点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $，且 $ \triangle AOH $ 的面积为 $ 3 $.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在 $ x $ 轴上是否存在一点 $ P $，使 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 5 $? 若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)已知点 $ Q $ 在 $ x $ 轴上，若 $ \triangle AOQ $ 是以 $ AO $ 为腰的等腰三角形，则点 $ Q $ 的坐标为$(\sqrt{13},0)$或$(-\sqrt{13},0)$或$(6,0)$.

答案： $(\sqrt{13},0)$或$(-\sqrt{13},0)$或$(6,0)$