《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

11. 清华附中校本经典题 若$\sqrt{24n}$是整数，则满足条件的最小正整数$n$的值为6.

答案： 11.6

12. 要使算式$3\sqrt{2}◯\sqrt{8}$的运算结果最小，则$◯$中应添加的运算符号是(B)

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

答案： 12.B

13. 若$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，则表示实数$a$的点会落在数轴的(B)


A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上

答案： 13.B

14. 若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{8}$，则$a$和$b$的值不可能是(D)

A.$a = 2, b = 2$
B.$a=\dfrac{1}{2},b=\dfrac{9}{2}$
C.$a = 0, b = 8$
D.$a = 4, b = 2$

答案： 14.D

15. 计算：
(1)$\sqrt{18}-4\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{12}-\sqrt{24}$.

答案： 15.解：
(1)原式$=3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{24 ÷ 3} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}.$
(2)原式$=\sqrt{48 ÷ 3} + \sqrt{\frac{1}{2}} × 12 - 2\sqrt{6} = 4 + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 4 - \sqrt{6}.$

16. 湖南师大附中校本经典题 如图，这是某土楼的平面示意图，它由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为$763.02\ m^2$和$150.72\ m^2$，求圆环的宽度$d$($\pi$取$3.14$).

答案： 16.解：设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为S₁,S₂.由S₁
$=\pi R^{2},S₂=\pi r^{2}$可知$,R=\sqrt{\frac{S_{1}}{\pi}},r=\sqrt{\frac{S_{2}}{\pi}},\therefore d=R - r=\sqrt{\frac{S_{1}}{\pi}} -$
$\sqrt{\frac{S_{2}}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{763.02}{3.14}} - \sqrt{\frac{150.72}{3.14}} = \sqrt{243} - \sqrt{48} = 9\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}(m).$

17. 新考向 推理能力 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的思想探究下面二次根式的运算规律. 下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例 1：$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{3 + 1}{3}}=\sqrt{4×\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
特例 2：$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{8 + 1}{4}}=\sqrt{9×\dfrac{1}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$；
特例 3：$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$；
特例 4：.(填写一个符合上述运算特征的例子)
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果$n$为正整数，用含$n$的代数式表示上述特例的运算规律：.
(3)请说明(2)中猜想的正确性.
(4)应用运算规律计算：$\sqrt{2024+\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$.

答案： 17.解：$(1)\sqrt{4 + \frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}} (2)\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
(3)等式左边$=\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{n(n + 2) + 1}{n + 2}} = \sqrt{\frac{n^{2} + 2n + 1}{n + 2}}$
$=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}} = $等式右边.
(4)原式=2025
$\sqrt{\frac{1}{2026}} × \sqrt{2 × 2026} = 2025\sqrt{2}.$