《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版江西专版》

1. 如图，$\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(4,2)$，$B(-2,0)$，$C(1,0)$，则 $\triangle ABC$ 的面积为____.

答案： 3

2. 如图，$\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(4,2)$，$B(4,6)$，$C(-1,3)$，则 $\triangle ABC$ 的面积为____.

答案： 10

3. 如图，已知点 $A(-3,1)$，$B(1,-3)$，$C(3,4)$，求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案： 解：过点A作EF//y轴，过点B作FG//x轴，交EF于点F，过点C作CG⊥FG于点G，CE⊥EF于点$E.S_{\triangle ABC}=S_{长方形EFGC}-S_{\triangle AEC}-S_{\triangle AFB}-S_{\triangle BGC}=6×7-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×7=42 - 9 - 8 - 7=18.$

4. (教材 P73 复习题 T8 变式)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 各顶点的坐标分别是 $O(0,0)$，$A(-4,10)$，$B(-12,8)$，$C(-14,0)$，求四边形 $OABC$ 的面积.

答案： 解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则D(-4,0)，E(-12,0). 又
∵A(-4,10)，B(-12,8)，C(-14,0)，
∴BE=8，AD=10，OD=4，DE=8，CE=2.
∴$S_{四边形OABC}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BCE}+S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}OD·AD+\frac{1}{2}CE·BE+\frac{1}{2}(BE + AD)·DE=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8 + 10)×8=100.$

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A(a,0)$，$B(b,0)$，其中 $a$，$b$ 满足 $\sqrt{a + 1} + (b - 3)^2 = 0$.
(1) 填空：$a =$-1，$b =$3.
(2) 若在第三象限内有一点 $M(-2,m)$，用含 $m$ 的式子表示 $\triangle ABM$ 的面积为-2m.
(3) 在(2)的条件下，线段 $BM$ 与 $y$ 轴相交于点 $C(0,-\frac{9}{10})$，当 $m = -\frac{3}{2}$ 时，点 $P$ 是 $y$ 轴上的动点，当满足 $\triangle PBM$ 的面积是 $\triangle ABM$ 的面积的 $2$ 倍时，求点 $P$ 的坐标.
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答案： 5.
(1)-1，3；
(2)-2m；
(3)当$m=-\frac{3}{2}$时，$M(-2,-\frac{3}{2})，$
$S_{\triangle ABM}=-2m=-2×(-\frac{3}{2})=3，$
∴$S_{\triangle PBM}=2S_{\triangle ABM}=6.$
∵$S_{\triangle PBM}=S_{\triangle MPC}+S_{\triangle BPC}，$
∴$\frac{1}{2}PC×2+\frac{1}{2}PC×3=6，$解得$PC=\frac{12}{5}.$
∵$C(0,-\frac{9}{10})，$
∴点P的纵坐标为$-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10}$或$-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}.$
∴点P的坐标为$(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2}).$