《2025年新目标检测同步单元测试卷八年级数学上册人教版》

22. 一块直角三角板$XYZ$和$\triangle ABC$如图所示放置，三角板的两条直角边$XY$和$XZ$恰好分别经过点$B$和点$C$，$\angle A = 30^{\circ}$。
（1）$\angle ABX + \angle ACX$的大小是多少？
（2）若改变三角板的位置，但仍使点$B$、点$C$分别在三角板的边$XY$和边$XZ$上，点$X$在$\triangle ABC$内，则$\angle ABX + \angle ACX$的大小有变化吗？请你说明理由。

答案： 22.解：
(1)
∵∠A = 30°,
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 30° = 150°.
∵∠YXZ = 90°,
∴∠XBC + ∠XCB = 90°,
∴∠ABX + ∠ACX = 150° - 90° = 60°.
(2)∠ABX + ∠ACX的大小没有变化.理由如下：
∵∠YXZ = 90°,
∴∠XBC + ∠XCB = 90°.
∴∠ABX + ∠ACX = 180° - ∠A - 90° = 90° - ∠A = 60°,即∠ABX + ∠ACX的大小没有变化.

23. 如图①所示，在同一平面内，四条线段$AB$，$BC$，$CD$，$DA$首尾顺次相接，$AD$，$BC$相交于点$O$，射线$AM$，$CN$分别是$\angle BAD$和$\angle BCD$的平分线，$\angle B = \alpha$，$\angle D = \beta$。
（1）如图②所示，射线$AM$，$CN$相交于点$P$。
①当$\alpha = \beta$时，判断$\angle APC$与$\alpha$的大小关系，并说明理由；
②当$\alpha ＞ \beta$时，请直接写出$\angle APC$与$\alpha$，$\beta$的数量关系。
（2）是否存在$AM // CN$的情况？若存在，请判断并说明$\alpha$，$\beta$的数量关系；若不存在，请说明理由。

答案：
23.解：
(1)如图①所示.
①当α = β时,∠APC = α.理由如下：
在△ANP和△CND中,∠4 + ∠APC = ∠2 + ∠D,在△AOB和△COD中,∠B + ∠OAB = ∠OCD + ∠D.
∵∠D = ∠B = α,
∴∠OCD = ∠OAB.
∵射线AM,CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠OCD = 2∠2,∠OAB = 2∠4,
∴∠2 = ∠4,
∴∠APC = ∠D = α.
②当α＞β时,∠APC = $\frac{1}{2}$(α + β).
　　　　　　　
(2)不存在.理由如下：
如图②所示,若AM//CN,则∠4 = ∠5.
∵∠5 = ∠2 + ∠D,
∴∠4 = ∠2 + β.同理得∠3 = ∠1 + ∠B,即∠3 = ∠1 + α,
∴∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + α + β.
∵射线AM,CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠3 = ∠2,∠1 = ∠4,
∴α + β = 0°,易知此式不成立,
∴不存在AM//CN的情况.