《2025年新目标检测同步单元测试卷八年级数学上册人教版》

22. （10分）如图，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.
求证：（1）AP=AQ；
（2）AP⊥AQ.

答案： 22.证明：
(1)$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，
$\therefore \angle BEC=\angle BDC=90°$，
$\therefore \angle ABD+\angle BAC=90°$，$\angle ACE+\angle BAC=90°$，
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$.
在$\triangle ABP$和$\triangle QCA$中，$\begin{cases} BP=CA, \\ \angle ABP=\angle QCA, \\ AB=QC, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABP \cong\triangle QCA$，$\therefore AP=AQ$.
(2)由
(1)可得$\angle CAQ=\angle P$，
$\because BD\perp AC$，$\therefore \angle P+\angle CAP=90°$，
$\therefore \angle CAQ+\angle CAP=90°$，即$\angle QAP=90°$，
$\therefore AP\perp AQ$.