《2025年新目标检测同步单元测试卷八年级数学上册人教版》

17. (10分)观察下列关于自然数的等式：
$3^2 - 4×1^2 = 5$①，
$5^2 - 4×2^2 = 9$②，
$7^2 - 4×3^2 = 13$③，
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：$9^2 - 4×$4$^2 =$17；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)，并验证其正确性。

答案： 17.解：$(1)3^{2}-4×1^{2}=5①，$
$5^{2}-4×2^{2}=9②，$
$7^{2}-4×3^{2}=13③，$
……
所以第四个等式为$9^{2}-4×4^{2}=17.$
(2)第n个等式为$(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1，$
左边$=(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n^{2}+4n+1-4n^{2}=4n+1，$
右边=4n+1.
左边=右边，
∴$(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1.$

18. (12分)已知$x$，$y$满足$|x + y - 3| + (xy - 2)^2 = 0$。
(1)$x + y =$3，$xy =$2；
(2)求$x^2y + xy^2$的值；
(3)求$x^2 + y^2$的值。

答案： 18.解：
(1)由题意知,x+y-3=0,xy-2=0，
∴x+y=3,xy=2.
$(2)x^{2}y+xy^{2}=xy(x+y)=2×3=6.$
(3)
∵x+y=3,xy=2，
∴$(x+y)^{2}=9，$
又
∵$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}，$
∴$x^{2}+2xy+y^{2}=9，$
∴$x^{2}+2×2+y^{2}=9，$
∴$x^{2}+y^{2}=5.$

19. （10分）先阅读，再解答下列问题。
已知$(a^2 + b^2)^4 - 8(a^2 + b^2)^2 + 16 = 0$，求$a^2 + b^2$的值。
错解：设$(a^2 + b^2)^2 = m$，则原式可化为$m^2 - 8m + 16 = 0$，即$(m - 4)^2 = 0$，解得$m = 4$。由$(a^2 + b^2)^2 = 4$，得$a^2 + b^2 = ±2$。
（1）找出上述解答过程中的错误并改正。
（2）请你用以上方法分解因式：$(a + b)^2 - 14(a + b) + 49$。

答案： 19.解：
(1)错误是忽视了平方式的非负性，未舍去负值结果.正确
解答过程为：设$(a^{2}+b^{2})^{2}=m,m≥0.$所以由$(m-4)^{2}=0，$解
得m=4.由$(a^{2}+b^{2})^{2}=4，$得$a^{2}+b^{2}=2.$
(2)设a+b=m.则原式$=m^{2}-14m+49=(m-7)^{2}.$
∴$(a+b)^{2}-14(a+b)+49=(a+b-7)^{2}.$