《2025年学生基础性作业七年级数学上册北师大版》

10. 我们知道$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 × 2}$,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 × 3}$,…
那么反过来也成立,如：$\frac{1}{1 × 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$,$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$,…
计算：(1)$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{98 × 99} + \frac{1}{99 × 100}$；
(2)$\frac{2}{1 × 3} + \frac{2}{3 × 5} + \frac{2}{5 × 7} + \frac{2}{7 × 9} + … + \frac{2}{97 × 99} + \frac{2}{99 × 101}$。

答案：
(1)
根据所给关系式$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，对原式进行转化：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\cdots+\frac{1}{98×99}+\frac{1}{99×100}$
$=(1 - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{98}-\frac{1}{99})+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
$=1-\frac{1}{100}$
$=\frac{99}{100}$
(2)
因为$\frac{2}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1}$，对原式进行转化：
$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+\frac{2}{7×9}+\cdots+\frac{2}{97×99}+\frac{2}{99×101}$
$=(1 - \frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\cdots+(\frac{1}{97}-\frac{1}{99})+(\frac{1}{99}-\frac{1}{101})$
$=1-\frac{1}{101}$
$=\frac{100}{101}$
综上，
(1)的答案是$\frac{99}{100}$；
(2)的答案是$\frac{100}{101}$。