《2025年学生基础性作业七年级数学上册北师大版》

5. 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上,点 $A_{1},A_{2},A_{3},…$ 在射线 $OA$ 上,点 $B_{1},B_{2},B_{3},…$ 在射线 $OB$ 上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为 $1$ 个单位长度。一个动点 $M$ 从 $O$ 点出发,以每秒 $1$ 个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点 $O$ 为圆心的半圆匀速运动,即从 $O\rightarrow A_{1}\rightarrow B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow A_{2}…$ 按此规律,动点 $M$ 到达 $A_{10}$ 点处所需时间为(B)

A.$(10 + 55\pi) s$
B.$(20 + 55\pi) s$
C.$(10 + 110\pi) s$
D.$(20 + 110\pi) s$

答案： B

6. 如图,由图①、图②和图③中正方形个数的关系得到 $1^{3}+2^{3}= 3^{2}$。类似地,继续结合图形验证你的猜想,并应用其蕴含的规律可得 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+100^{3}=$ $5050^2$(结果保留幂的形式)。

答案： $5050^2$

7. 火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏。这种游戏形式万千,可简可繁。在学习了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后,同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动。他们按照如图所示的方法拼图,探究不同图形中共拼出的三角形个数、正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系,请你参与数学探究活动。

(1)观察发现：观察图中拼成三角形和正方形的个数及所用火柴棒根数,并填写下表中的空格。


| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| 拼成的正方形个数 | 3 | 5 | 7 | 9 | …… |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 | 28 | 36 | …… |
(2)拓展探究：按如图所示的方法拼成的第 $n$ 个图中,三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？(用含 $n$ 的代数式表示)
第$n$个图中，三角形的个数是$n$；正方形的个数是$2n + 1$；所用火柴棒总根数是$8n + 4$。
(3)迁移应用：按这种拼图方法拼出的第 $10$ 个图中三角形和正方形各有多少个？共需要火柴棒多少根？
第$10$个图中，三角形的个数是$10$；正方形的个数是$2×10 + 1 = 21$；共需要火柴棒$8×10 + 4 = 84$根。

答案：
(1)
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| 拼成的正方形个数 | 3 | 5 | 7 | 9 | …… |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 | 28 | 36 | …… |
(2)
第$n$个图中，三角形的个数是$n$；
正方形的个数是$2n + 1$；
所用火柴棒总根数是$8n + 4$。
(3)
第$10$个图中，
三角形的个数是$10$；
正方形的个数是$2×10 + 1 = 21$；
共需要火柴棒$8×10 + 4 = 84$根。