《2025年学生基础性作业七年级数学上册北师大版》

9. 如图,已知线段 $ AB $,点 $ C $ 是 $ AB $ 的中点,点 $ D $ 是 $ AB $ 的三等分点,且点 $ D $ 在点 $ C $ 的右边。
(1) 若 $ AB = 6 $,求 $ CD $ 的长。
(2) 在线段 $ AC $ 上是否存在一点 $ E $,使得点 $ E $ 是 $ AD $ 的中点,同时点 $ C $ 也是 $ DE $ 的中点？若存在,请说明理由。

答案：
(1) 1；
(2) 存在，理由见上述过程。

10. 已知点 $ A $,$ B $,$ C $ 是直线 $ l $ 上的三个点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),点 $ D $,$ E $ 分别是 $ AC $,$ BC $ 的中点。
(1) 特例探究：如图,当点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,且 $ AB = 10 $ 时,求 $ DE $ 的长度。

(2) 一般猜想：当点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,且 $ AB = a $ 时,求线段 $ DE $ 的长度。
(3) 归纳结论：经历了上述探究过程,请你用简短的文字概括上述探究得到的结论。
(4) 方法迁移：若点 $ C $ 是直线 $ AB $ 上任意一点(点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上除外),上述结论还成立吗？请画出图形,并选取其中一种情况加以说明。
(5) 学以致用：小明同学在解决问题“某校七年级(1)班延时服务统计情况如下,其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的 $ 2 $ 倍,参加延时服务的男生是全班男生人数的 $ \frac{2}{3} $,若参加延时服务的男生、女生共有 $ m $ 人,则该班共有学生多少人？(用含 $ m $ 的式子表示)”时,突然联想到上面的几何问题,请你将这个实际问题转化为几何模型,并直接写出答案。(建立几何模型就是画出相应的线段示意图,并分别注明相应线段的实际意义)

答案：
(1)
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DC=1/2AC，CE=1/2BC。DE=DC+CE=1/2(AC+BC)=1/2AB=1/2×10=5。
(2) DE=1/2AB=1/2a。
(3) 若D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长度等于AB长度的一半。
(4) 成立。
图形：点C在点A左侧。
设AB=a，AC=m(m＞0)，则BC=AB+AC=a+m。


∵D为AC中点，
∴DC=1/2m；
∵E为BC中点，
∴EC=1/2(a+m)。
DE=EC-DC=1/2(a+m)-1/2m=1/2a=1/2AB。
(5) 几何模型：
女生线段：分为未参加(x)和参加(2x)，总长3x；
男生线段：分为未参加(1/3y)和参加(2/3y)，总长y。
全班人数=3x+y=3/2m。