《2025年学生基础性作业七年级数学上册北师大版》

13. 如图①,直角三角板 $ COD $ 的直角顶点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上,$ \angle COD = 90^{\circ} $,射线 $ OE $ 是 $ \angle AOD $ 的平分线。

请完成：
【特殊推理】
(1)推理：如图①,若 $ \angle 1 = 30^{\circ} $,则 $ \angle 2 = \angle COD - \angle 1 = 90^{\circ} - \angle 1 = $$60^{\circ}$,
因为射线 $ OE $ 是 $ \angle AOD $ 的平分线,所以 $ \angle AOD = 2\angle 2 = $$120^{\circ}$,
所以 $ \angle BOD = 180^{\circ} - \angle AOD = $$60^{\circ}$。
【类比操作】
(2)如图①,若 $ \angle 1 = 40^{\circ} $,求 $ \angle BOD $ 的度数。
【变式思维】
(3)当直角三角板 $ COD $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转到图②位置时,射线 $ OE $ 还是 $ \angle AOD $ 的平分线,若 $ \angle COE = 130^{\circ} $,求 $ \angle BOD $ 的度数。

答案：
(1)
$60^{\circ}$；
$120^{\circ}$；
$60^{\circ}$。
(2)
因为$\angle COD = 90^{\circ}$，$\angle 1 = 40^{\circ}$，
所以$\angle 2=90^{\circ}-\angle 1 = 50^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle AOD$，
所以$\angle AOD = 2\angle 2 = 100^{\circ}$。
因为$\angle AOB = 180^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 180^{\circ}-\angle AOD = 80^{\circ}$。
(3)
因为$\angle COE = 130^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$，
所以$\angle DOE=\angle COE - \angle COD = 40^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle AOD$，
所以$\angle AOD = 2\angle DOE = 80^{\circ}$。
因为$\angle AOB = 180^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 180^{\circ}-\angle AOD = 100^{\circ}$。

14. 数轴是中学数学教材中数形结合的第一个实例,揭示了“数”和“形”之间的内在联系。小华在一张长方形纸条上画了一条数轴,进行如下操作：如图①,在数轴上剪下 $ 12 $ 个单位长度(从 $ -3 $ 到 $ 9 $)后得到的一条线段,过线段上某点将纸条向左折叠；如图②,然后在重叠部分的某处剪一刀,展开后得到三条线段,发现有折痕的线段长度为 $ 6 $,另外两条没有折痕的线段长度之比为 $ 1:2 $。试求出折痕处对应的点所表示的数。

答案： 情况一：折痕在点2处
设折痕对应的数为$ m $，原线段从$-3$到$9$，长度为$12$。
当$ m ＜ 3 $时，左边长度$ L = m - (-3) = m + 3 $，右边长度$ R = 9 - m $，且$ R ＞ L $，重叠部分为$ L = m + 3 $，未重叠部分为$ R - L = 6 - 2m $。
展开后，无折痕线段长度之和为$ 12 - 6 = 6 $，设长度比为$ 1:2 $，则两段长分别为$ 2 $和$ 4 $。
由比例关系得$ m : (6 - m) = 1:2 $，解得$ m = 2 $。
情况二：折痕在点4处
当$ m \geq 3 $时，左边长度$ L = m - (-3) = m + 3 $，右边长度$ R = 9 - m $，且$ L ＞ R $，重叠部分为$ R = 9 - m $，未重叠部分为$ L - R = 2m - 6 $。
展开后，无折痕线段长度之和为$ 6 $，两段长分别为$ 2 $和$ 4 $。
由比例关系得$ m : (6 - m) = 2:1 $，解得$ m = 4 $。
结论：折痕处对应的点所表示的数为$ 2 $或$ 4 $。
$\boxed{2}$或$\boxed{4}$