《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版四川专版》

6. 如图,直线$l_1:y = 2x + 4与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,直线$l_2:y = -x + 1与y轴交于点C$,直线$l_1和直线l_2相交于点D$。
(1) 直接写出点$A,B,C$的坐标。
(2) 在$x轴上是否存在一点P$,使得$S_{\triangle ADP} = 4$？若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

(第6题)

答案：
(1)$A(-2,0),B(0,4),C(0,1)$。
(2)存在。联立$\left\{\begin{array}{l} y=2x+4,\\ y=-x+1\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2\end{array}\right. $,所以点 D 的坐标为$(-1,2)$。令$P(m,0)$,则$AP=|-2-m|$,所以$S_{\triangle ADP}=\dfrac{1}{2}×2×|-2-m|=4$,解得$m=2$或$m=-6$,所以点 P 的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。

7. 【综合与实践】如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知正比例函数$y = \frac{3}{4}x与一次函数y = -x + 7的图象交于点A$。
(1) 求点$A$的坐标。
(2) 设$x轴上有一点P(a,0)$,过点$P作x$轴的垂线(垂线位于点$A$的右侧),分别交$y = \frac{3}{4}x和y = -x + 7的图象于点B,C$,连接$OC$。若$5BC = 7OA$,求$\triangle OBC$的面积。

答案：
(1)由$\left\{\begin{array}{l} y=\dfrac{3}{4}x,\\ y=-x+7\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=3\end{array}\right. $,所以点 A 的坐标为$(4,3)$。
(2)因为点 A 的坐标为$(4,3)$,所以$OA=5$。因为点 P 的坐标为$(a,0)$,所以$B\left( a,\dfrac{3}{4}a\right),C(a,-a+7)$,所以$BC=\left| \dfrac{3}{4}a-(-a+7)\right|=\dfrac{7}{5}×5$,解得$a=8$或$a=0$(舍去),所以$S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{2}×8×7=28$。