《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版四川专版》

2. 已知 $ a = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} $,$ b = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} $,求 $ a + b $,$ ab $,$ a^{2} + b^{2} $ 的值。

答案： 2. 解:因为$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$,$b=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$,所以$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$,$ab=(2+\sqrt{3})× (2-\sqrt{3})=1$,$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$$=4^{2}-2× 1$$=16-2$$=14$。

3. 化简：$ \sqrt{(5 - 13)^{2}} = $8$ $,$ 3\sqrt{\dfrac{2}{9}} = $$\sqrt{2}$$ $,$ \sqrt{(-15) × (-27)} = $$9\sqrt{5}$$ $。

答案： $8$，$\sqrt{2}$，$9\sqrt{5}$

4. 计算：
$ \sqrt{18} - \sqrt{32} + 2\sqrt{75} - \sqrt{27} $
$ 0.5 - \sqrt{\dfrac{49}{16}} + \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}} $
$ (\sqrt{3a} - 3\sqrt{27a^{3}}) ÷ \sqrt{\dfrac{a}{3}} $
$ \dfrac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} $
$ (2 - \sqrt{3})^{2029} × (2 + \sqrt{3})^{2029} - 2 × \left| -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| - (-\sqrt{2})^{0} $

答案： 4. 解:
(1)原式$=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+10\sqrt{3}-3\sqrt{3}=7\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(2)原式$=0.5-\frac{7}{4}+(-\frac{1}{4})=-\frac{3}{2}$。
(3)原式$=\sqrt{3a\cdot \frac{3}{a}}-3\sqrt{27a^{3}\cdot \frac{3}{a}}=\sqrt{9}-3\sqrt{81a^{2}}=3-27a$。
(4)原式$=2+1-1=2$。
(5)原式$=1-\sqrt{3}-1=-\sqrt{3}$。

5. 求下列各题中 $ x $ 的值：
$ x^{2} - 81 = 0 $
$ 3(x + 1)^{2} - 1 = 8 $
$ x^{3} + 125 = 0 $
$ -8(x - 3)^{3} = 27 $

答案： 5. 解:
(1)因为$x^{2}-81=0$,所以$x^{2}=81$,所以$x=\pm 9$。
(2)因为$3(x+1)^{2}-1=8$,所以$(x+1)^{2}=3$,所以$x+1=\pm \sqrt{3}$,所以$x=-1\pm \sqrt{3}$,即$x=-1+\sqrt{3}$或$x=-1-\sqrt{3}$。
(3)因为$x^{3}+125=0$,所以$x^{3}=-125$,所以$x=-5$。
(4)因为$-8(x-3)^{3}=27$,所以$(x-3)^{3}=-\frac{27}{8}$,所以$x-3=-\frac{3}{2}$,所以$x=\frac{3}{2}$。