《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版四川专版》

1. 勾股定理的验证方法有很多。其中常用的是等面积法(也称“算两次”),即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式,然后化简。
2. 图①、图②都能够验证勾股定理：在图①中,大正方形 $ABCD$ 的面积既可以表示为 $(a + b)^2$,也可以表示为 $4×\frac{1}{2}ab + c^2$,由同一图形两次计算的面积相等,可以列出等式 $(a + b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$,化简可得 $a^2 + b^2 = c^2$。在图②中,梯形 $EFGH$ 的面积既可以表示为$\frac{1}{2}(a+b)^2$,也可以表示为$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,根据同一图形两次计算的面积相等,可以列出等式$\frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$,化简可得$a^2+b^2=c^2$。

答案： $\frac{1}{2}(a+b)^2$ $2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$ 同一图形两次计算的面积相等 $\frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$ $a^2+b^2=c^2$

1. 如图,阴影部分正方形的面积是(B)。

A.16
B.8
C.4
D.2

答案： B

2. 如图,阴影部分是两个正方形,图中还有两个直角三角形和一个正方形,则阴影部分的面积是(B)。

A.16
B.25
C.144
D.169

答案： B

3. 如图,分别以 $Rt\triangle ABC$ 的三边 $AB$,$BC$,$CA$ 为直径向外作半圆,面积分别记为 $S_1$,$S_2$,$S_3$,则(B)。

A.$S_1 ＞ S_2 + S_3$
B.$S_1 = S_2 + S_3$
C.$S_1 ＜ S_2 + S_3$
D.$S_1$,$S_2$,$S_3$ 的数量关系无法确定

答案： B

4. 【数学文化】《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一,在“勾股”一章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何。”翻译成数学问题是：如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC + AB = 10$,$BC = 3$,求 $AC$ 的长。若设 $AC = x$,则可列方程为$x^2+3^2=(10-x)^2$。

答案： $x^2+3^2=(10-x)^2$

5. 已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为$\frac{60}{13}$。

答案： $\frac{60}{13}$

6. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC = 3$,$BC = 4$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 长为半径画弧交 $AB$ 于点 $D$,则 $BD = $2。

答案： 2