《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版四川专版》

7. 如图,直线 $l$ 上有三个正方形分别为 $a$,$b$,$c$,若 $a$,$c$ 的面积分别为 5 和 11,则 $b$ 的面积为16。

答案： 16

8. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 13\ cm$,$AC = 20\ cm$,$BC$ 边上的高为 $12\ cm$,则边 $BC$ 的长为11cm或21cm。

答案： 11cm或21cm

9. 如图,将长方形纸片 $ABCD$ 沿 $BD$ 折叠,使点 $C$ 落在点 $C'$ 处,$BC'$ 交 $AD$ 于点 $E$。
(1) 试说明 $\triangle BED$ 是等腰三角形；
(2) 若 $AD = 8$,$AB = 4$,求 $\triangle BED$ 的面积。

答案： 解:
(1)因为$\triangle BDC'$是由$\triangle BDC$沿BD折叠得到的,所以$\angle DBC'=\angle DBC$。
因为四边形ABCD是长方形,
所以$AD// BC$,
所以$\angle DBC=\angle ADB$,
所以$\angle DBC'=\angle ADB$,
所以$BE=DE$,
即$\triangle BED$是等腰三角形。
(2)设$DE=x$,
则$AE=AD - DE=8 - x$。
在$Rt\triangle ABE$中,
因为$\angle A=90°$,$BE=DE=x$,
所以$BE^2=AB^2+AE^2$,
所以$x^2=4^2+(8 - x)^2$,
解得$x=5$,
所以$\triangle BED$的面积$=\frac{1}{2}DE× AB=\frac{1}{2}×5×4=10$。

10. 【综合与实践】我们发现,用不同的方式表示同一图形的面积可以解决有关线段长度之间关系的问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探究下面两个问题：
(1) 图①是著名的“赵爽弦图”,它由四个全等的直角三角形拼成,请你用它验证勾股定理；
(2) 如图②,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$CD$ 是 $AB$ 边上的高,$AC = 4$,$BC = 3$,求 $CD$ 的长度；
(3) 尝试构造一个图形,使它能够解释 $(a + b)(a + 2b) = a^2 + 3ab + 2b^2$,并在图中标注出线段的长度 $a$,$b$。

答案：
解:
(1)因为大正方形的面积为$c^2$,每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b - a)^2$,
所以$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2=2ab+b^2 - 2ab+a^2$,即$c^2=a^2+b^2$。
(2)在$Rt\triangle ABC$中,因为$\angle ACB=90°$,
所以由勾股定理,可得$AB^2=BC^2+AC^2=3^2+4^2=25$,
即$AB=5$。
又因为$CD\perp AB$,
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$,
所以$CD=\frac{12}{5}$。
(3)如图,大长方形的面积既可以表示为$(a + b)(a + 2b)$,也可以表示为$a^2+3ab+2b^2$,所以$(a + b)(a + 2b)=a^2+3ab+2b^2$。(答案不唯一)