《2025年课堂精练八年级数学上册北师大版四川专版》

7. 对于一次函数 $ y = (m - 1)x^{m^2 - 3} + 3 $,若 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m $ 的值为-2。

答案： -2

8. 已知点 $ (3,5) $ 在直线 $ y = ax + b(a,b $ 为常数,且 $ a \neq 0) $ 上,则 $ 5(3a + b) $ 的值为25。

答案： 25

9. 如图,直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $。
(1)求点 $ A $,$ B $ 的坐标。
(2)求当 $ x = -2 $ 时,$ y $ 的值；当 $ y = 10 $ 时,$ x $ 的值。
(3)过点 $ B $ 作直线 $ BP $ 与 $ x $ 轴交于点 $ P $,且使 $ OP = 2OA $,求 $ \triangle ABP $ 的面积。

答案： 解:
(1)当y=0时,2x+3=0,解得x=-3/2,则点A的坐标为(-3/2,0);当x=0时,y=3,则点B的坐标为(0,3)。
(2)当x=-2时,y=2×(-2)+3=-1;当y=10时,2x+3=10,解得x=7/2。
(3)因为OP=2OA,点A的坐标为(-3/2,0),所以点P的位置有两种情况,点P在x轴的负半轴上或点P在x轴的正半轴上。当点P在x轴的负半轴上时,点P的坐标为(-3,0),则△ABP的面积为1/2×(3-3/2)×3=9/4;当点P在x轴的正半轴上时,点P的坐标为(3,0),则△ABP的面积为1/2×(3+3/2)×3=27/4。综上,△ABP的面积为9/4或27/4。

10. 【综合与实践】阅读下面的材料：
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义：设一次函数 $ y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0) $ 的图象为直线 $ l_1 $,一次函数 $ y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0) $ 的图象为直线 $ l_2 $,若 $ k_1 = k_2 $,且 $ b_1 \neq b_2 $,我们就称直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 互相平行。已知一次函数 $ y = -2x $ 的图象为直线 $ l_1 $,过点 $ P(1,4) $ 且与已知直线 $ l_1 $ 平行的直线为 $ l_2 $。
解答下面的问题：
(1)求直线 $ l_2 $ 所对应的函数表达式；
(2)设直线 $ l_2 $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴交于点 $ A $,$ B $,过坐标原点 $ O $ 作 $ OC \perp AB $,垂足为点 $ C $,求 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 两平行线之间的距离 $ OC $ 的长；
(3)在(2)的条件下,若 $ Q $ 为 $ OA $ 上一动点,点 $ P $ 的坐标为 $ (1,4) $,求 $ QP + QB $ 的最小值,并求取得最小值时点 $ Q $ 的坐标；
(4)在(3)的条件下,在 $ x $ 轴上找一点 $ M $,使 $ \triangle BMP $ 是以 $ PB $ 为腰的等腰三角形,请直接写出点 $ M $ 的坐标。

答案： 解:
(1)因为l₁//l₂,所以设直线l₂所对应的函数表达式为y=-2x+b(b≠0),把点P(1,4)的坐标代入,得4=-2+b,所以b=6,所以直线l₂所对应的函数表达式为y=-2x+6。
(2)直线l₂分别与y轴、x轴交于点A,B,它们的坐标分别为(0,6),(3,0)。所以OA=6,OB=3,则AB=3√5。因为OA×OB=AB×OC,所以OC=6/5√5。
(3)点B关于y轴的对称点B'(-3,0),连接B'P交y轴于点Q,此时QP+QB最小,且最小值为4√2。因为直线B'P所对应的函数表达式为y=x+3,所以点Q的坐标是(0,3)。
(4)(-1,0),(3+2√5,0),(3-2√5,0)。