《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

23. (9 分)(1)已知第一组数：$1$，$-2$，$3$，$-4$，$5$，$-6$，$\cdots$，$n$。
① 写出这列数的第 $10$ 个数，第 $11$ 个数和第 $2020$ 个数；
② 求前 $100$ 个数的和；
③ 第一组数中第 $n$ 个数用含 $n$ 的式子表示为$(-1)^{n+1}\cdot n$（或$-(-1)^n\cdot n$）；
(2)已知第二组数：$3$，$-3$，$7$，$-7$，$11$，$-11$，$\cdots$，$n$。第二组数中第 $n$ 个数用含 $n$ 的式子表示为$(-1)^{n+1}\cdot(2n+1)$或$-(-1)^n\cdot(2n+1)$。

答案： （1）①第10个数：-10，第11个数：11，第2020个数：-2020.②-50③$(-1)^{n+1}\cdot n$（或$-(-1)^n\cdot n$）.（2）$(-1)^{n+1}\cdot(2n+1)$或$-(-1)^n\cdot(2n+1)$

24. (9 分)(1)知识探究：$2^{1}-2^{0}=2^{( )}$，$2^{2}-2^{1}=2^{( )}$，$2^{3}-2^{2}=2^{( )}$，$\cdots$
上述括号按顺序填写为0，1，2；
(2)发现规律：试写出第 $n$ 个等式，并证明此等式成立；
(3)拓展应用：计算 $2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2024}$。

答案： （1）0 1 2（2）第$n$个等式是$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$，理由：$\because2^n-2^{n-1}=2^{n-1}×(2-1)=2^{n-1}×1=2^{n-1}$.（3）设$T=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}$，则$2T=2^2+2^3+\cdots+2^{2025}$，$\therefore2T-T=(2^2+2^3+\cdots+2^{2025})-(2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2024})=2^2+2^3+\cdots+2^{2025}-2^1-2^2-2^3-\cdots-2^{2024}=2^{2025}-2$，即$2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2024}=2^{2025}-2$.

25. （9 分）阅读下列材料，并回答问题。
我们知道 $|a|$ 的几何意义是指数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离，那么 $|a-b|$ 的几何意义又是什么呢？如 $|5-(-6)|$ 就是数轴上表示 $-6$ 和 $5$ 两点间的距离，$|a-b|$ 的几何意义是数轴上 $a$，$b$ 两数对应点之间的距离。
（1）当 $|x-\frac{2}{3}|=2$ 时，求出 $x$ 的值；
（2）设 $Q=|x+6|-|x-5|$，请问 $Q$ 是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值；
（3）设 $Q=|x+2023|+|2024+x|+2|2026-x|$，当 $Q$ 的值最小时，求整数 $x$ 所有可能的值的和。

答案： （1）$x=\dfrac{8}{3}$或$-\dfrac{4}{3}$.（2）$Q=|x+6|-|x-5|$存在最大值为11.（3）整数$x$所有可能的值的和为$-2023-2022-2021-2020-\cdots-2-1+0+1+2+\cdots+2023+2024+2025+2026=0+2024+2025+2026=6075$.