《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

23. (6 分)已知关于$x$的方程$x - \frac{2 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 2$有非负整数解，求整数$a$的所有可能的取值。

答案： 由$x-\frac{2-ax}{6}=\frac{x}{3}-2$去分母,得6x-(2-ax)=2x-12,去括号,得6x-2+ax=2x-12,移项、合并同类项,得(4+a)x=-10,解得$x=-\frac{10}{4+a}$,$\because-\frac{10}{4+a}$是非负数,$\therefore$a的值为-5或-6或-9或-14时,关于x的方程有非负整数解.

24. (8 分)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件。商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售。请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？

答案： 20元

25. (9 分)如图，数轴上有$A$，$B$两点，动点$P$从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为$t$秒。
(1) 线段$AB$的长是8；
(2) 当$t = 1$时，线段$PA$的长是4；此时线段$PA$与线段$PB$的数量关系是PA=PB；
(3) 当$PA = 2PB$时，求$t$的值。

答案： （1）8（2）4 PA=PB（3）当点P在点B左侧时,由题意,得2t-(-2)=2(6-2t),解得$t=\frac{5}{3}$;当点P在点B右侧时,由题意,得2t-(-2)=2(2t-6),解得t=7.综上所述,当t的值为$\frac{5}{3}$或7时,PA=2PB.

26. 我们称关于$x$的方程$ax + b = 0$与方程$bx + a = 0$($a$，$b$均为不等于 0 的常数)互为“轮换方程”，如：方程$2x + 4 = 0$与方程$4x + 2 = 0$互为“轮换方程”。
(1) 判断：① $3x + 7 = 0$与$7x + 3 = 0$；② $-6x + 3 = 0$与$3x - 6 = 0$；③ $-11x - 1 = 0$与$x - 11 = 0$；其中互为“轮换方程”的有①②；(填序号)
(2) 若关于$x$的方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”，求$m^n$的值；
(3) 若关于$x$的方程$5x - p = 0$与其“轮换方程”的解都是整数，$p$也为整数，对于多项式$A = 6x^2 - 2kx + 8$和$B = -2(3x^2 - \frac{3}{2}x + k)$，不论$x$取多少，$A$与$B$的和始终等于整数$p$，求常数$p$的值。

答案： （1）①②（2）$\because$关于x的方程5x+m+3=0与方程4x+n-2=0互为“轮换方程”,$\therefore\begin{cases}m+3=4\\n-2=5\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=1\\n=7\end{cases},\therefore m^n=1^7=1$.（3）关于x的方程5x-p=0的“轮换方程”为-px+5=0,由方程5x-p=0,得$x=\frac{p}{5}$,由方程-px+5=0,得$x=\frac{5}{p}$.$\because$关于x的方程5x-p=0与其“轮换方程”的解都是整数,p也为整数,$\therefore$p=5或-5.$\because A+B=6x^2-2kx+8-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)=6x^2-2kx+8-6x^2+3x-2k=(3-2k)x+8-2k$,多项式$A=6x^2-2kx+8$和$B=-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)$,不论x取多少,A与B的和始终等于整数p,$\therefore\begin{cases}3-2k=0\\8-2k=p\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2}\\p=5\end{cases}$,综上所述,常数p的值为5.