《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

24. （8 分）$A$，$B$，$C$，$D$四个车站的位置如图所示，车站$B$距车站$A$，$D$的距离分别为$(a + b)\mathrm{km}$、$(5a + 3b)\mathrm{km}$，车站$C$与车站$D$的距离为$(3a + 2b)\mathrm{km}$.其中$a$，$b$是不为$0$的实数.
（1）求$B$，$C$两站之间的距离（用含$a$，$b$的代数式表示）.
（2）若$B$，$D$两个车站之间的距离比$A$，$B$两个车站之间的距离长$8\mathrm{km}$，求$B$，$C$两个车站相距多少千米.

答案： （1）距离为$(5a+3b)-(3a+2b)=5a+3b-3a-2b=2a+b$. $\therefore$ B，C 两站的距离为$(2a+b)\ km$. （2）由题意，得$(5a+3b)-(a+b)=4a+2b=8$，$\therefore 2a+b=4$，即$BC=2a+b=4$.

25. （8 分）【典例展示】若关于$x$，$y$的代数式$ax + 3y - 3x - 2y + 4$的值与$x$无关，求$a$的值.
解：原式$=ax - 3x + 3y - 2y + 4=(a - 3)x + y + 4$.$\because$代数式$ax + 3y - 3x - 2y + 4$的值与$x$无关，$\therefore a - 3 = 0$，$\therefore a = 3$.
【理解应用】已知$A = (4x + 3)(x - 2)-x(1 - 3m)$，$B = x^{2}+mx - 1$，且$A - 4B$的值与$x$无关，求$m$的值；
【拓展延伸】用$6$张长为$b$，宽为$a$的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为$S_{1}$，右下角部分的面积为$S_{2}$，当$AD$的长度发生变化时，$5S_{2}-2S_{1}$的值始终保持不变，求$a$与$b$之间的数量关系.

答案： 【理解应用】$\because A=(4x+3)(x-2)-x(1-3m)=4x^{2}-6x+3mx-6$，$B=x^{2}+mx-1$，$\therefore A-4B=(4x^{2}-6x+3mx-6)-4(x^{2}+mx-1)=4x^{2}-6x+3mx-6-4x^{2}-4mx+4=(-6-m)x-2$. $\because A-4B$的值与$x$无关，$\therefore -6-m=0$，$\therefore m=-6$. （2）设$AD=x$，由图可知$S_{1}=b(x-4a)=bx-4ab$，$S_{2}=2a(x-b)=2ax-2ab$，则$5S_{2}-2S_{1}=5(2ax-2ab)-2(bx-4ab)=10ax-10ab-2bx+8ab=(-2b+10a)x-2ab$. $\because$当$AD$的长度发生变化时，$5S_{2}-2S_{1}$的值始终保持不变，$\therefore 5S_{2}-2S_{1}$的值与$x$的值无关，$\therefore -2b+10a=0$，$\therefore b=5a$.