《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

23. (10 分)我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试.
(1)填空：用代数式表示：
① $a$ 与 $b$ 的差的平方是$(a-b)^2$；
② $a$ 与 $b$ 两数的平方和与 $a$，$b$ 两数积的 2 倍的差是$a^2+b^2-2ab$.
(2)当 $a = 4$，$b = -3$ 时，求第(1)题中①②所列的代数式的值；
(3)观察第(2)题两个代数式的值，你发现两个代数式之间有什么关系，请用式子表示出来；
(4)利用(3)中的关系式计算：$108.5^2 - 2×108.5×58.5 + 58.5^2$.

答案： （1）①$(a-b)^2$ ②$a^2+b^2-2ab$ （2）当 $a = 4$，$b = -3$ 时，$(a-b)^2=(4+3)^2=7^2=49$，$a^2+b^2-2ab=16+9-2×4×(-3)=16+9+24=49$. （3）$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$ （4）$108.5^2 - 2×108.5×58.5 + 58.5^2=(108.5-58.5)^2=2500$.

24. （10 分）某新修建的公园有一块长方形空地，园区管理人员计划在两个相同的四分之一圆形区域内种植郁金香，在两个相同的正方形区域内种植牡丹，剩余空地铺五彩石，相应的长度如图所示.
（1）请用含 $a$，$b$ 的代数式表示出剩余空地铺五彩石的面积（结果保留 $\pi$）；
（2）若每平方米所用五彩石的费用是 100 元，当 $a = 50$，$b = 10$ 时，求购买五彩石的总费用（$\pi$ 取 3）.

答案： （1）$3ab-\frac{1}{4}\pi b^2×2-2b^2=\left[3ab-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)b^2\right](m^2)$. （2）当 $a = 50$，$b = 10$ 时，$100\left[3ab-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)b^2\right]=100×\left[3×50×10-\left(2+\frac{3}{2}\right)×10^2\right]=1.15×10^5$（元）.

25. (12 分)(1)定义：$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，称 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ 为 $a$，$b$ 的调和平均数，下列赋予 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ 实际意义的例子，其中正确的是①③.
① 一辆汽车以 $a\mathrm{km/h}$ 的速度由甲地驾往乙地，然后以 $b\mathrm{km/h}$ 的速度返回，汽车往返两地的平均速度；
② 两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为 $a$，乙杯含糖率为 $b$，将两杯混合后的含糖率；
③ 用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克 $a$ 元，乙糖果的单价为每千克 $b$ 元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价.
(2)甲乙两港口相距 $10\mathrm{km}$，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要 $a\mathrm{h}$，从乙港口逆水航行到甲港口需要 $b\mathrm{h}$，问：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要多少小时？

答案： （1）①③ （2）$\frac{2ab}{a+b}\ h$