《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

21. （5 分）老师布置如下一道数学题：已知两个多项式$A$，$B$，其中$B = 2x^{2}y - 5xy + x + 7$，试求$A + B$.小明把$A + B$误看成$A - B$，结果求出的答案为$6x^{2}y + 12xy - 2x - 9$.
（1）请你替小明求出$A + B$的正确答案；
（2）小明发现，当$y = \frac{5}{27}$时，无论$x$取何值，$A - 4B$的值都是一个定值.他的发现正确吗？请说明理由.

答案： （1）$A=6x^{2}y+12xy-2x-9+2x^{2}y-5xy+x+7=8x^{2}y+7xy-x-2$，$\therefore A+B=8x^{2}y+7xy-x-2+2x^{2}y-5xy+x+7=10x^{2}y+2xy+5$. （2）小明的发现正确，理由如下：$A-4B=8x^{2}y+7xy-x-2-4(2x^{2}y-5xy+x+7)=8x^{2}y+7xy-x-2-8x^{2}y+20xy-4x-28=27xy-5x-30$. 当$y=\dfrac{5}{27}$时，$A-4B=27xy-5x-30=5x-5x-30=-30$. $\therefore$小明的发现正确，定值为$-30$.

22. (6 分)一般情况下$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m + n}{2 + 3}$不成立，但有些数可以使得它成立，例如：$m = n = 0$时，我们称使得$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m + n}{2 + 3}$成立的一对数$m$，$n$为“相伴数对”，记为$(m,n)$.
(1)若$(m,1)$是“相伴数对”，则$m=$$-\dfrac{4}{9}$；
(2)若$(m,n)$是“相伴数对”，求代数式$\frac{15}{4}m-\left[n+\frac{1}{2}(6 - 12n - 15m)\right]$的值.

答案： （1）$-\dfrac{4}{9}$ （2）由题意，得$\dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{m+n}{5}$，即$\dfrac{3m+2n}{6}=\dfrac{m+n}{5}$，整理，得$15m+10n=6m+6n$，即$9m+4n=0$，原式$=\dfrac{15}{4}m-n-3+6n+\dfrac{15}{2}m=\dfrac{45}{4}m+5n-3=\dfrac{5}{4}(9m+4n)-3=-3$.

23. (6 分)在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为$A$，$B$，$C$三个代数式，三张卡片如下，其中$C$的代数式是未知的.
| $A = -2x^{2}-(k - 1)x + 1$ | $B = -2(x^{2}-x + 2)$ | $C$ |
| :---: | :---: | :---: |
(1)若$A$为二次二项式，则$k$的值为1；
(2)若$A - B$的结果为常数，则这个常数是5，此时$k$的值为$-1$；
(3)当$k = -1$时，$C + 2A = B$，求$C$.

答案： （1）1 （2）5 $-1$ （3）当$k=-1$时，$A=-2x^{2}+2x+1$，$B=-2(x^{2}-x+2)$，$\because C+2A=B$，$\therefore C=B-2A=-2(x^{2}-x+2)-2(-2x^{2}+2x+1)=-2x^{2}+2x-4+4x^{2}-4x-2=2x^{2}-2x-6$.