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24. （9 分）将一副三角板中的含有 $ 60^{\circ} $ 角的三角板的顶点和另一块的 $ 45^{\circ} $ 角的顶点重合于一点 $ O $，绕着点 $ O $ 旋转 $ 60^{\circ} $ 的三角板，拼成如图的情况（$ OB $ 在 $ \angle COD $ 内部），请回答问题：
（1）如图 1 放置，将含有 $ 60^{\circ} $ 角的一边与 $ 45^{\circ} $ 角的一边重合，求出此时 $ \angle AOD $ 的度数；
（2）绕着点 $ O $，转动三角板 $ AOB $，恰好是 $ OB $ 平分 $ \angle COD $，求此时 $ \angle AOD $ 的度数；
（3）是否存在这种情况，$ \angle AOC $ 的度数恰好等于 $ \angle BOD $ 的度数的 3 倍？如果存在，请求出 $ \angle AOD $ 的度数；如果不存在，请说明理由.
（1）如图 1 放置，将含有 $ 60^{\circ} $ 角的一边与 $ 45^{\circ} $ 角的一边重合，求出此时 $ \angle AOD $ 的度数；
（2）绕着点 $ O $，转动三角板 $ AOB $，恰好是 $ OB $ 平分 $ \angle COD $，求此时 $ \angle AOD $ 的度数；
（3）是否存在这种情况，$ \angle AOC $ 的度数恰好等于 $ \angle BOD $ 的度数的 3 倍？如果存在，请求出 $ \angle AOD $ 的度数；如果不存在，请说明理由.
答案：
（1）∠AOD=45°+60°=105° （2）
∵OB平分∠COD，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+22.5°=82.5°. （3）设∠BOC=x°，则∠AOC=60°-x°，∠BOD=45°-x°，
∵∠AOC=3∠BOD，
∴60-x=3(45-x)，解得x=37.5，此时∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+(60°-37.5°)=45°+22.5°=67.5°.
∵OB平分∠COD，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+22.5°=82.5°. （3）设∠BOC=x°，则∠AOC=60°-x°，∠BOD=45°-x°，
∵∠AOC=3∠BOD，
∴60-x=3(45-x)，解得x=37.5，此时∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+(60°-37.5°)=45°+22.5°=67.5°.
25. (10 分)如图，$ P $ 是线段 $ AB $ 上不同于点 $ A $，$ B $ 的一点，$ AB = 18 \, cm $，$ C $，$ D $ 两动点分别从点 $ P $，$ B $ 同时出发，在线段 $ AB $ 上向左运动(无论谁先到达点 $ A $，均停止运动)，点 $ C $ 的运动速度为 $ 1 \, cm/s $，点 $ D $ 的运动速度为 $ 2 \, cm/s $.
(1)若 $ AP = PB $.
① 当动点 $ C $，$ D $ 运动了 $ 2 \, s $ 时，$ AC + PD = $
② 当 $ C $，$ D $ 两点间的距离为 $ 5 \, cm $ 时，则运动的时间为
(2)当点 $ C $，$ D $ 在运动时，总有 $ PD = 2AC $.
① 求 $ AP $ 的长；
② 若在直线 $ AB $ 上存在一点 $ Q $，使 $ AQ - BQ = PQ $，求 $ PQ $ 的长度.
(1)若 $ AP = PB $.
① 当动点 $ C $，$ D $ 运动了 $ 2 \, s $ 时，$ AC + PD = $
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$ cm $；② 当 $ C $，$ D $ 两点间的距离为 $ 5 \, cm $ 时，则运动的时间为
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$ s $；(2)当点 $ C $，$ D $ 在运动时，总有 $ PD = 2AC $.
① 求 $ AP $ 的长；
② 若在直线 $ AB $ 上存在一点 $ Q $，使 $ AQ - BQ = PQ $，求 $ PQ $ 的长度.
答案：
（1）①12 ②4 （2）①6 cm ②6 cm或18 cm
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