《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

24. (8 分)如图 1,$A$,$B$,$C$是数轴上从左到右排列的三个点,分别对应的数为$-6$,$b$,$3$,某同学将刻度尺如图 2 放置,使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点$A$,发现点$B$对应刻度$1.8cm$,点$C$对应刻度$5.4cm$.


(1) 该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的多少；
(2) 求数轴上点$B$所对应的数$b$.

答案：
(1)由题图1可得AC=3+6=9,由题图2可得AC=5.4 cm,
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为$\frac{5.4}{9}=0.6(cm),$
∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的0.6 cm.
(2)
∵AB=1.8 cm,
∴$AB=\frac{1.8}{0.6}=3,$
∴在数轴上点B所对应的数b=-6+3=-3.

25. (9 分)阅读理解:目前,我们学过两类非负数,它们分别是绝对值和平方数.
小明学习后总结如下:因为$x^2 \geq 0$,所以$x^2 + m$的最小值为$m$,所以$-x^2 + m$的最大值为$m$. 迁移发现:绝对值是否有类似的结论呢?下面是小明的探究过程,请将其补充完整.
(1) 对$|x| - 3$和$-|x| - 3$进行讨论,发现可以求得$|x| - 3$的最小值,可以求得$-|x| - 3$的最大值;
(2) 多选择一些特殊实例进行讨论,请你写出一般的结论;
(3) 请用迁移发现中的结论讨论$-50 - |m - n|$是否有最小值或最大值,最值是什么?

答案：
(1)小 大
(2)例如:|x|+5有最小值5;|x|-2有最小值-2;-|x|+5有最大值5;-|x|-2有最大值-2. 一般的结论:因为|x|≥0,所以|x|+m的最小值为m,所以-|x|+m的最大值为m.
(3)因为|m-n|≥0,所以-|m-n|≤0,则-50-|m-n|≤-50. 所以-50-|m-n|有最大值,最大值为-50.

26. (10 分)同学们都知道,$|5 - (-2)|$表示5与$-2$的差的绝对值,实际上也可理解为5与$-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1) $|5 - (-2)|=$7;
(2) $x$是所有符合$|x + 5| + |x - 2| = 7$成立条件的整数,则$x=$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2;
(3) 由以上探索猜想,对于任何有理数$x$,$|x - 3| + |x - 6|$的最小值为3;
(4) 当$x$为整数时,$|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$的最小值为2;
(5) 求$|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \cdots + |x - 1997|$的最小值.

答案：
(1)7
(2)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2
(3)3
(4)|x-1|+|x-2|+|x-3|表示的是在数轴上x所对应的点到1,2,3三点之间的距离之和,
∵x为整数,|x-1|+|x-2|+|x-3|取得最小值,
∴x=2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为2.
(5)由
(4)的结论可知:当x=999时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|取得最小值,最小值为2×(1+2+…+998)=997002.