《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

26. (9 分)整体思考是一种重要的解决数学问题的策略.
已知当$x = 1$时，代数式$ax^{3}+bx - 1$的值为$2021$，则当$x = -1$时，代数式$ax^{3}+bx + 1$的值是多少？
解：$\because$当$x = 1$时，代数式$ax^{3}+bx - 1$的值为$2021$，
$\therefore a + b - 1 = 2021$.$\therefore a + b = 2022$.
当$x = -1$时，$ax^{3}+bx + 1 = a×(-1)^{3}+b×(-1)+1 = -(a + b)+1 = -2022 + 1 = -2021$.
请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题.
(1)若$x^{2}+3x = 2$，则$2x^{2}+6x - 1=$3；
(2)已知$m^{2}-n^{2}=4$，$mn - n^{2}=1$，求$m^{2}-2mn + n^{2}$的值；
(3)$A$，$B$两地相距$60\mathrm{km}$，甲、乙两人同时从$A$，$B$两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时行$a\mathrm{km}$，乙每小时行$b\mathrm{km}$，经过$2\mathrm{h}$相遇.甲、乙两人出发多少小时相距$20\mathrm{km}$？

答案： （1）3 （2）$\because m^{2}-n^{2}=4$，$mn-n^{2}=1$，$\therefore m^{2}-2mn+n^{2}=(m^{2}-n^{2})-2(mn-n^{2})=4-2=2$. （3）设甲、乙两人出发$x\ h$相距$20\ km$. 由题意，得$2(a+b)=60$，即$a+b=30$，① $x(a+b)=60-20$，解得$x=\dfrac{4}{3}$. ② $x(a+b)=60+20$，解得$x=\dfrac{8}{3}$. $\therefore$甲、乙两人出发$\dfrac{4}{3}\ h$或$\dfrac{8}{3}\ h$相距$20\ km$.