《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

18. 已习得①：$2^1 = 2$，$2^2 = 4$，$2^3 = 8$，$2^4 = 16$，$2^5 = 32$，$2^6 = 64$，$2^7 = 128$，$2^8 = 256$，$2^9 = 512$，$2^{10} = 1024$，$\cdots$已习得②：$(-1)^1 = -1$，$(-1)^2 = 1$，$(-1)^3 = (-1)$，$(-1)^4 = 1$，$\cdots$根据上面两个小知识，观察下列这一组数据：$2$，$-4$，$8$，$-16$，$32$，$-64$，$\cdots$依此类推，第 $n$ 个数为$(-1)^{n+1}× 2^n$($n$ 为正整数).

答案： $(-1)^{n+1}× 2^n$

19. （6 分）请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义：
（1）$a^3$；
（2）$(1 + 10\%)x$；
（3）$\frac{3m + 2n}{5}$.

答案： 答案不唯一，
(1)一个棱长为 $a\ m$ 的正方体钢块的体积是 $a^3\ m^3$.
(2)某款价格为 $x$ 元的钢笔在“双十一”加价 10%后的售价是 $(1+10\%)x$ 元.
(3)巧克力糖每千克 $m$ 元，奶油糖每千克 $n$ 元，用 3 kg 巧克力糖和 2 kg 奶油糖合成 5 kg 混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为 $\left(\frac{3m+2n}{5}\right)$ 元.

20. (8 分)一根弹簧长 $12\mathrm{cm}$，在弹性限度(总长不超过 $20\mathrm{cm}$)内，每挂质量为 $1\mathrm{kg}$ 的物体，弹簧伸长 $0.5\mathrm{cm}$.
(1)代数式 $0.5x + 12$ 表示的实际意义是挂上质量 $x\ kg$ 的物体后，弹簧的总长度；
(2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？

答案：
(1)挂上质量 $x\ kg$ 的物体后，弹簧的总长度
(2)这根弹簧最多可挂质量为 16 kg 的物体.

21. (9 分)观察下列式子：
①$1×4 + 2 = 2×3$；②$2×5 + 2 = 3×4$；
③$3×6 + 2 = 4×5$；④$4×7 + 2 = 5×6$；
(1)根据上述式子猜想式子：$6×9 + 2 =$7×8；
(2)用含 $n$ 的式子表示出第 $n$ 个式子：$n×(n+3)+2=(n+1)×(n+2)$；
(3)利用你发现的规律计算：$\frac{2021×2024 + 2}{2022×2025 + 2}$.

答案：
(1)7 8
(2)$n×(n+3)+2=(n+1)×(n+2)$
(3)原式$=\frac{2022×2023}{2023×2024}=\frac{1011}{1012}$

22. （9 分）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离 $s$（单位：$\mathrm{km}$），可用公式 $s^2 = 1.7h$ 来估计，其中 $h$（单位：$\mathrm{m}$）是眼睛离海平面的高度.
（1）如果一个人站在海岸边观察，当眼睛离海平面的高度是 $1.7\mathrm{m}$ 时，能看多远？
（2）若这个人登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的 5 倍，已知眼睛到脚底的高度为 $1.6\mathrm{m}$，观望台离海平面的高度？

答案： （1）由已知得 $h=1.7$ 代入 $s^2=1.7h$，得 $s^2=1.7^2$，$\therefore s=1.7$. $\therefore$ 当眼睛离海平面的高度是 1.7 m 时，能看到 1.7 km 远. （2）由已知此时看到的最远距离是 $5×1.7=8.5(km)$，代入 $s^2=1.7h$ 中得 $8.5^2=1.7h$，解得 $h=42.5$，观望台离海平面的高度：$42.5-1.6=40.9(m)$.