《2025年能力素养与学力提升七年级数学上册人教版》

26. (12 分)定义：数轴上有 $ A $，$ B $ 两点，若点 $ A $ 到原点的距离为点 $ B $ 到原点的距离的两倍，则称点 $ A $ 为点 $ B $ 的 2 倍原距点. 如图，已知点 $ A $，$ M $，$ N $ 在数轴上表示的数分别为 4，$ m $，$ n $.
(1)若点 $ A $ 是点 $ M $ 的 2 倍原距点.
① 当点 $ M $ 在数轴正半轴上时，则 $ m = $2；
② 当点 $ M $ 在数轴负半轴上，且为线段 $ AN $ 的中点时，判断点 $ N $ 是否是点 $ A $ 的 2 倍原距点，并说明理由；
(2)若点 $ M $，$ N $ 分别从数轴上表示数 10，6 的点出发向数轴负半轴运动，点 $ M $ 运动速度为每秒 2 个单位长度，点 $ N $ 运动速度为每秒 $ a $ 个单位长度. 当点 $ M $ 为点 $ A $ 的 2 倍原距点时，点 $ A $ 恰好也是点 $ N $ 的 2 倍原距点，请求出 $ a $ 所有可能的值.

答案： （1）①2 ②点N是点A的2倍原距点，理由如下：由题意，得m=-2.
∵M为线段AN的中点，
∴4-(-2)=-2-n，解得n=-8.
∴ON=8，
∵ON=2OA，
∴点N是点A的2倍原距点. （2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点，则OM=2OA，OA=2ON，即|10-2t|=8 ①，2×|6-at|=4 ②，解①，得t=9或t=1.将t=9代入②，得2×|6-9a|=4，解得$a_1=\frac{4}{9}$，$a_2=\frac{8}{9}$；将t=1代入②，得2×|6-a|=4，解得$a_3=4$，$a_4=8$.故a所有可能的值为$\frac{4}{9}$，$\frac{8}{9}$，4，8.