《2025年伴你学八年级数学上册苏科版》

2. 如图是由一些正方形和直角三角形拼合而成的图形,其中最大正方形的边长为7 cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为______49$.zyjl.cn/pic18/2025-09-04/5b8bd0717a18642b0cea00404644051e.jpg?x-oss-process=image/crop,x_619,y_376,w_278,h_350">$

答案： 49

3. 如图,两个全等的 $ Rt\triangle ADE $,$ Rt\triangle BEC $ 的边 AE,EB 在同一条直线上. 历史上曾有人利用该图形证明了勾股定理,证明中用到的面积相等关系是(D)


A.$ S_{\triangle EDA}= S_{\triangle CEB} $
B.$ S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CEB}= S_{\triangle CDE} $
C.$ S_{四边形C D A E}= S_{四边形C D E B} $
D.$ S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CEB}= S_{四边形ABCD} $

答案： D

1. 如图,小明用 4 个如图①所示的长方形组成图②,其中四边形 ABCD,EFGH,MNPQ 都是正方形. 求证：$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $.
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答案： 由题意，图①为长$a$、宽$b$、对角线$c$的长方形，4个图①长方形组成图②，其中ABCD、EFGH、MNPQ为正方形。
1. 大正方形ABCD的面积：
其边长为长方形长与宽之和$a + b$，面积$S_{ABCD}=(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$。
2. 小正方形MNPQ的面积：
大正方形ABCD面积等于4个长方形面积与MNPQ面积之和。4个长方形面积为$4ab$，设MNPQ边长为$d$，则$a^2 + 2ab + b^2=4ab + d^2$，解得$d^2=(a - b)^2$，即$S_{MNPQ}=(a - b)^2$。
3. 正方形EFGH的面积：
EFGH边长为长方形对角线$c$，面积$S_{EFGH}=c^2$。EFGH面积等于MNPQ面积与4个直角三角形（每个长方形含2个，取其中4个）面积之和，每个直角三角形面积$\frac{1}{2}ab$，4个面积为$2ab$。故$c^2=(a - b)^2 + 2ab$。
4. 化简得结论：
展开$(a - b)^2 + 2ab=a^2 - 2ab + b^2 + 2ab=a^2 + b^2$，即$a^2 + b^2=c^2$。
综上，$a^2 + b^2=c^2$得证。

2. 2002 年 8 月,国际数学家大会在北京召开,其会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,此图是由 4 个的全等直角三角形和 1 个小正方形构成的大正方形. 如图,若 $ AB= c $,大正方形的面积为 13,中间小正方形的面积为 2,且直角三角形的两直角边分别为 a,b,求 $ (a+b)^{2} $ 的值.
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答案： 24