《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社高一物理人教版》

8. 有科学家正在研究从地面架设到太空的“太空梯”,若“太空梯”建在赤道上,人沿“太空梯”上升到 $ h $ 高度处时,恰好会感觉到自己“漂浮”起来,若人的质量为 $ m $,地球的半径为 $ R $,地球表面的重力加速度为 $ g $,地球自转周期为 $ T $,则人在 $ h $ 高度处受到的万有引力的大小为(BD)
A.0
B.$ \frac{mR^2g}{(R+h)^2} $
C.$ mg $
D.$ \frac{4\pi^2m(R+h)}{T^2} $

答案： 解：在地球表面时，由万有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，则$GM = gR^2$。
人在$h$高度处受到的万有引力大小为：$F=G\frac{Mm}{(R + h)^2}=\frac{mgR^2}{(R + h)^2}$，故B正确。
人在$h$高度处“漂浮”，万有引力充当向心力，有：$F = m(R + h)(\frac{2\pi}{T})^2=\frac{4\pi^2m(R + h)}{T^2}$，故D正确。
A、C错误。
答案：BD

9. (16分)登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动,周期是120.5 min,月球的半径是1 740 km。根据这组数据计算月球的质量和平均密度。

答案： 解：已知轨道高度$h = 112\ \text{km} = 1.12×10^{5}\ \text{m}$，月球半径$R = 1740\ \text{km} = 1.74×10^{6}\ \text{m}$，周期$T = 120.5\ \text{min} = 120.5×60\ \text{s} = 7230\ \text{s}$，万有引力常量$G = 6.67×10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$。
轨道半径$r=R + h=1.74×10^{6}\ \text{m}+1.12×10^{5}\ \text{m}=1.852×10^{6}\ \text{m}$。
由万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{r^{2}}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}r$，解得月球质量$M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$。
代入数据：$M=\frac{4×3.14^{2}×(1.852×10^{6})^{3}}{6.67×10^{-11}×(7230)^{2}}\approx7.19×10^{22}\ \text{kg}$。
月球体积$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}×3.14×(1.74×10^{6})^{3}\approx2.20×10^{19}\ \text{m}^3$。
平均密度$\rho=\frac{M}{V}=\frac{7.19×10^{22}\ \text{kg}}{2.20×10^{19}\ \text{m}^3}\approx3.26×10^{3}\ \text{kg/m}^3$。
答：月球的质量为$7.19×10^{22}\ \text{kg}$，平均密度为$3.26×10^{3}\ \text{kg/m}^3$。

10. (20分)宇航员站在某一星球,从距离星球表面 $ h $ 高度处,以初速度 $ v_0 $ 沿水平方向抛出一个小球,经过时间 $ t $ 后小球落到星球表面,已知该星球的半径为 $ R $,引力常量为 $ G $,求:
(1)该星球表面重力加速度 $ g $ 的大小。
(2)该星球的质量。

答案：
(1)小球在竖直方向做自由落体运动，根据自由落体运动位移公式$h = \frac{1}{2}gt^2$，解得$g=\frac{2h}{t^2}$。
(2)在星球表面，物体所受重力等于万有引力，即$mg = G\frac{Mm}{R^2}$，将$g=\frac{2h}{t^2}$代入，解得$M=\frac{gR^2}{G}=\frac{2hR^2}{Gt^2}$。
(1)$\frac{2h}{t^2}$
(2)$\frac{2hR^2}{Gt^2}$