《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

【例】写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题,并证明该逆命题是真命题.

答案：
【解析】：本题先根据逆命题的定义写出原命题的逆命题，再通过三角形面积公式及已知条件进行证明。
1. 写出逆命题：根据逆命题是把原命题的条件和结论互换，原命题条件是“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离”，结论是“距离相等”，所以逆命题为“如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”。
2. 证明逆命题：
连接$AD$，因为$D$是$BC$中点，根据等底同高的三角形面积相等，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$。
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DF$。
已知$DE = DF$，那么$\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}AC\cdot DF$，等式两边同时约去$\frac{1}{2}$和$DE$（$DE = DF$），就可以得到$AB = AC$。
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，所以$\triangle ABC$为等腰三角形。
【答案】：逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形。证明过程如上述解析，该逆命题是真命题。

1. 下列说法中,正确的是 (A)
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每一个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题

答案： A

2. 下列命题的逆命题为真命题的是 (C)
A.直角都相等
B.钝角都小于180°
C.若$x^2+y^2= 0,$则x= y= 0
D.同位角相等

答案： C

3. 给出下列命题:①若a＞0,b＞0,则a+b＞0;②若a≠b,则$a^2≠b^2;③$角平分线上的点到角的两边距离相等;④不是对顶角的角不相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有 (A)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A