《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

7. 已知关于x的分式方程$\frac {m}{x-1}+2= -\frac {3}{1-x}$的解为非负数,则正整数m的所有个数为4个。

答案： 4

8. 已知关于x的分式方程$\frac {a}{2x+3}-\frac {b-x}{x-5}= 1$。
(1)当$a= 1$,$b= 0$时,求分式方程的解；$x=-\frac{10}{11}$
(2)当$a= 1$时,求b为何值时分式方程$\frac {a}{2x+3}-\frac {b-x}{x-5}= 1$无解；$\frac{11}{2}$或5
(3)若$a= 3b$,且a、b为正整数,当分式方程$\frac {a}{2x+3}-\frac {b-x}{x-5}= 1$的解为整数时,求b的值。3，29，55，185

答案：
(1) 把 $ a = 1 $，$ b = 0 $ 代入分式方程 $ \frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1 $ 中，解得 $ x = -\frac{10}{11} $。检验：当 $ x = -\frac{10}{11} $ 时，$ (2x + 3)(x - 5) \neq 0 $，
∴ 原分式方程的解是 $ x = -\frac{10}{11} $。
(2) 把 $ a = 1 $ 代入分式方程 $ \frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1 $，得 $ \frac{1}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1 $，整理得 $ (11 - 2b)x = 3b - 10 $。
① 当 $ 11 - 2b = 0 $，即 $ b = \frac{11}{2} $ 时，方程无解；② 当 $ 11 - 2b \neq 0 $ 时，$ x = \frac{3b - 10}{11 - 2b} $。若 $ x = -\frac{3}{2} $，则分式方程无解，即 $ \frac{3b - 10}{11 - 2b} = -\frac{3}{2} $，$ b $ 不存在；若 $ x = 5 $，则分式方程无解，即 $ \frac{3b - 10}{11 - 2b} = 5 $，解得 $ b = 5 $。综上所述，$ b $ 的值为 $ \frac{11}{2} $ 或 5。
(3) 把 $ a = 3b $ 代入分式方程 $ \frac{a}{2x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1 $，得 $ \frac{3b}{2x + 3} + \frac{x - b}{x - 5} = 1 $，整理，得 $ (10 + b)x = 18b - 15 $。
∴ $ x = \frac{18b - 15}{10 + b} $。
∵ $ \frac{18b - 15}{10 + b} = \frac{18(b + 10) - 195}{10 + b} = 18 - \frac{195}{10 + b} $，且 $ b $ 为正整数，$ x $ 为整数，
∴ $ 10 + b $ 必为 195 的因数，$ 10 + b \geq 11 $。
∵ $ 195 = 3 × 5 × 13 $，
∴ 195 的因数有 1，3，5，13，15，39，65，195。但 1，3，5 小于 11，不合题意，故 $ 10 + b $ 可以取 13，15，39，65，195 这五个数。对应地，方程的解为 $ x = 3 $，5，13，15，17。由于 $ x = 5 $ 为分式方程的增根，故应舍去。对应地，$ b $ 只可以取 3，29，55，185，
∴ 满足条件的 $ b $ 的值为 3，29，55，185。

9. 阅读下面的解题过程：
已知$\frac {x}{x^{2}+1}= \frac {1}{3}$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+1}$的值。
解：由$\frac {x}{x^{2}+1}= \frac {1}{3}$,知$x≠0$,所以$\frac {x^{2}+1}{x}= 3$,即$x+\frac {1}{x}= 3$。
所以$\frac {x^{4}+1}{x^{2}}= x^{2}+\frac {1}{x^{2}}= (x+\frac {1}{x})^{2}-2x\cdot \frac {1}{x}= 3^{2}-2= 7$。
所以$\frac {x^{2}}{x^{4}+1}的值为\frac {1}{7}$。
说明：该题的解法叫做“倒数法”。
请你利用“倒数法”解下面题目：
已知：$\frac {x}{x^{2}-2x-2}= 4$,求：
(1)$x-\frac {2}{x}$的值；$\frac{9}{4}$
(2)$\frac {x^{2}}{x^{4}-6x^{2}+4}$的值。$\frac{16}{49}$

答案：
(1)
∵ $ \frac{x}{x^2 - 2x - 2} = 4 $，
∴ $ \frac{x^2 - 2x - 2}{x} = \frac{1}{4} $，
∴ $ x - 2 - \frac{2}{x} = \frac{1}{4} $，
∴ $ x - \frac{2}{x} = \frac{9}{4} $。
(2)
∵ $ \frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2} $
= $ x^2 - 6 + \frac{4}{x^2} $
= $ (x - \frac{2}{x})^2 - 2 $
= $ \frac{81}{16} - 2 $
= $ \frac{49}{16} $，
∴ $ \frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4} = \frac{16}{49} $。