《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

2. 今年以来,猪肉价格波动较大,王阿姨和李阿姨在生活上精打细算,为了减少开支,王阿姨和李阿姨制定了不同的购肉策略,王阿姨每次买一样重量的肉,李阿姨每次买一样钱数的肉,某个周六、周日两位阿姨同时在同一个摊位上买肉,但这两天这个摊位的肉价不一样,从这两次买肉的均价来看(B)
A.王阿姨更合适
B.李阿姨更合适
C.谁更合适与猪肉的变动价格有关
D.谁更合适与买猪肉的量有关

答案： B

3. 若 $a$,$b$ 的值均扩大为原来的 $5$ 倍,则下列分式的值不变的是(C)
A.$\frac{3ab}{a + b}$
B.$\frac{2a}{(a + b)^{2}}$
C.$\frac{2a + 3b}{4b}$
D.$\frac{b + 5}{a + 5}$

答案： C

4. 已知 $x^{2}-3x + 1 = 0$,则 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ 的值为(A)
A.$7$
B.$9$
C.$1$
D.$3$

答案： A

5. 对于任意 $x$ 的值都有 $\frac{2x + 7}{x^{2}+x - 2}= \frac{M}{x + 2}+\frac{N}{x - 1}$,则(B)
A.$M = 1$,$N = 3$
B.$M = -1$,$N = 3$
C.$M = 2$,$N = 4$
D.$M = 1$,$N = 4$

答案： B

6. 已知 $a$、$b$ 为有理数,且 $a + b$、$a - b$、$ab$、$\frac{a}{b}$ 中恰有三个数相等,则 $2a + b=$0或 -2.

答案： 0或 -2

7. 已知 $a-\frac{1}{a}= 3$,则 $-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{3}{2}a= $$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

8. 已知 $a$ 是自然数,代数式 $\frac{4}{a - 4}$ 的值也是自然数,则 $a$ 可以取值5,6,8.

答案： 5,6,8

9. 已知实数 $a$、$b$、$c$ 满足 $a + b = ab = c$,有下列结论：
①若 $c\neq 0$,则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= 1$；
②若 $a = 3$,则 $b + c = 9$；
③若 $a$、$b$、$c$ 中只有两个数相等,则 $a + b + c = 8$.
其中正确的是①③.(把所有正确结论的序号都填上)

答案： ①③

10. 已知 $\frac{a + b + c}{d}= \frac{a + b + d}{c}= \frac{a + c + d}{b}= \frac{b + c + d}{a}= m$,则 $m$ 的值为-1或3.

答案： -1或3

11. 综合与探究
在处理分式问题时,由于分子的次数不低于分母的次数,在实际运算时往往难度比较大,这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式,通过对简单式的分析来解决问题,我们称之为分离整式法.
例：将分式 $\frac{x^{2}-3x - 1}{x + 2}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解：设 $x + 2 = t$,则 $x = t - 2$.
原式 $=\frac{(t - 2)^{2}-3(t - 2)-1}{t}= \frac{t^{2}-7t + 9}{t}= t - 7+\frac{9}{t}$,
$\therefore \frac{x^{2}-3x - 1}{x + 2}= x - 5+\frac{9}{x + 2}$.
这样,分式 $\frac{x^{2}-3x - 1}{x + 2}$ 就拆分成一个整式 $x - 5$ 与一个分式 $\frac{9}{x + 2}$ 的和的形式.
(1) 使用分离整式法将分式 $\frac{2x + 4}{x + 1}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,则结果为______$2+\frac{2}{x+1}$.
(2) 将分式 $\frac{x^{2}-3x + 4}{x - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,则结果为______$x-2+\frac{2}{x-1}$.
(3) 已知分式 $\frac{x^{2}-3x + 7}{x - 3}$ 的值为整数,求整数 $x$ 的值.
解：设 $t=x-3$，则 $x=t+3$。
$\therefore \frac{x^{2}-3x+7}{x-3}$
$=\frac{(t+3)^{2}-3(t+3)+7}{t}$
$=\frac{t^{2}+6t+9-3t-9+7}{t}$
$=\frac{t^{2}+3t+7}{t}$
$=t+3+\frac{7}{t}$，
$\therefore \frac{x^{2}-3x+7}{x-3}=(x-3)+3+\frac{7}{x-3}$
$=x+\frac{7}{x-3}$。
$\because x$ 是整数，
$\therefore x-3=\pm 1,\pm 7$，
解得 $x=4$ 或 2 或 10 或 -4。

答案：
(1) $2+\frac{2}{x+1}$
(2) $x-2+\frac{2}{x-1}$
(3) 设 $t=x-3$，则 $x=t+3$。
$\therefore \frac{x^{2}-3x+7}{x-3}$
$=\frac{(t+3)^{2}-3(t+3)+7}{t}$
$=\frac{t^{2}+6t+9-3t-9+7}{t}$
$=\frac{t^{2}+3t+7}{t}$
$=t+3+\frac{7}{t}$，
$\therefore \frac{x^{2}-3x+7}{x-3}=(x-3)+3+\frac{7}{x-3}$
$=x+\frac{7}{x-3}$。
$\because x$ 是整数，
$\therefore x-3=\pm 1,\pm 7$，
解得 $x=4$ 或 2 或 10 或 -4。