《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

10. 观察下列等式：
①$1×3 - 2^{2} = -1$；②$2×4 - 3^{2} = -1$；③$3×5 - 4^{2} = -1$；④$4 × 6 - 5^2 = -1$……
(1)请你按以上规律写出第4个等式；
(2)把这个规律用含字母$n$的等式表示出来；($n$为正整数)$n \cdot (n + 2) - (n + 1)^2 = -1$
(3)你认为(2)中所写出的等式一定成立吗？并说明理由.因为左边 $= n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1) = -1$，所以(2)中所写的等式一定成立.

答案：
(1) $4 × 6 - 5^2 = -1$
(2) $n \cdot (n + 2) - (n + 1)^2 = -1$.
(3) 因为左边 $= n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1) = -1$，所以
(2)中所写的等式一定成立.

11. 甲、乙二人共同计算$2(x + a)(x + b)$,由于甲抄错了第一个多项式中$a$的符号,得到的结果为$2x^{2} + 4x - 30$；由于乙漏抄了2,得到的结果为$x^{2} + 8x + 15$.
(1)求$a$,$b$的值；
(2)求出正确的结果.

答案：
(1) 依题意得 $2(x - a)(x + b) = 2x^2 + 2(-a + b)x - 2ab = 2x^2 + 4x - 30$，$\therefore 2(-a + b) = 4$，即 $-a + b = 2$①，$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + 8x + 15$，$\therefore a + b = 8$②，由①②得 $a = 3$，$b = 5$.
(2) 正确结果是 $2(x + 3)(x + 5) = 2x^2 + 16x + 30$.

12. 已知$(x^{2} + px + 8)(x^{2} - 3x + q)的展开式中不含x^{2}和x^{3}$项,求$p$,$q$的值.

答案： $(x^2 + px + 8)(x^2 - 3x + q) = x^4 - 3x^3 + qx^2 + px^3 - 3px^2 + pqx + 8x^2 - 24x + 8q = x^4 + (p - 3)x^3 + (q - 3p + 8)x^2 + (pq - 24)x + 8q$. 因为展开式中不含 $x^2$ 和 $x^3$ 项，所以 $p - 3 = 0$，$q - 3p + 8 = 0$，解得 $p = 3$，$q = 1$.

13. 已知$6x^{2} - 7xy - 3y^{2} + 14x + y + a = (2x - 3y + b)(3x + y + c)$,试确定$a$,$b$,$c$的值.

答案： $a = 4$，$b = 4$，$c = 1$