《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

9. 阅读材料:
对于多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10$,我们把$x= 2$代入多项式,发现$x= 2$能使多项式的值为0,由此可以断定多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10中有因式(x-2)$,于是我们可以把多项式写成$x^{3}-5x^{2}+x+10= (x-2)(x^{2}+mx+n)$,分别求出$m,n$后代入,就可以把多项式$x^{3}-5x^{2}+x+10$因式分解.
请根据材料提供的方法解决问题.
(1)求式子中$m,n$的值;
$m=$-3，$n=$-5
(2)以上这种因式分解的方法叫"试根法",用"试根法"分解多项式$x^{3}+5x^{2}+8x+4$.
$x^{3}+5x^{2}+8x+4=$$(x + 1)(x + 2)^2$

答案：
(1)$x^3 - 5x^2 + x + 10 = (x - 2)(x^2 + mx + n) = x^3 + (m - 2)x^2 + (n - 2m)x - 2n$
$\therefore \begin{cases} m - 2 = -5, \\ n - 2m = 1, \\ -2n = 10, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m = -3, \\ n = -5. \end{cases}$
(2)当$x = -1$时，$x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = 0$，
$\therefore x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + mx + n)$
$\therefore x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = x^3 + mx^2 + nx + x^2 + mx + n = x^3 + (m + 1)x^2 + (m + n)x + n$
$\therefore \begin{cases} m + 1 = 5, \\ m + n = 8, \\ n = 4, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m = 4, \\ n = 4. \end{cases}$
$\therefore x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)^2$