《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

10. 已知等腰三角形 $ ABC $ 中, $ AB = AC $, $ AC $ 边上的中线 $ BD $ 将它的周长分成 $ 9 \text{ cm} $ 和 $ 8 \text{ cm} $ 的两部分, 求其一腰长.

答案：
若AB + AD = 9cm, 则BC + CD = 8cm. 如图①, 设AD = x(cm), 则AB = AC = 2x(cm),
∴2x + x = 9, 解得x = 3.
∴AB = AC = 6cm, BC = 5cm.
∵5 + 6 ＞ 6,
∴能构成三角形, 此时腰长为6cm. 若AB + AD = 8cm, 则BC + CD = 9cm. 如图②, 设AD = y(cm), 则AB = AC = 2y(cm),
∴2y + y = 8, 解得y = $\frac{8}{3}$.
∴AB = AC = $\frac{16}{3}$cm, BC = $\frac{19}{3}$cm.
∵$\frac{16}{3} + \frac{16}{3} ＞ \frac{19}{3}$,
∴能构成三角形, 此时腰长为$\frac{16}{3}$cm. 综上所述, 这个三角形的腰长为6cm或$\frac{16}{3}$cm.

11. 已知等边三角形 $ ABC $ 和点 $ P $, 设点 $ P $ 到 $ \triangle ABC $ 的三边 $ AB $, $ AC $, $ BC $ 的距离分别为 $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $, $ \triangle ABC $ 的高为 $ h $.
(1) 如图 1 所示, 若点 $ P $ 在边 $ BC $ 上, 求证: $ h = h_1 + h_2 $.
(2) 如图 2 所示, 当点 $ P $ 在 $ \triangle ABC $ 内时, 猜想 $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $ 和 $ h $ 有什么关系? 证明你的结论.猜想：$ h = h_1 + h_2 + h_3 $
(3) 如图 3 所示, 当点 $ P $ 在 $ \triangle ABC $ 外时, $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $ 和 $ h $ 有什么关系? (不需要证明)$ h = h_1 + h_2 - h_3 $

答案：
(1) 连接AP, 则$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle APC}$.
∴$\frac{1}{2}BC \cdot AM = \frac{1}{2}AB \cdot PD + \frac{1}{2}AC \cdot PE$, 即$\frac{1}{2}BC \cdot h = \frac{1}{2}AB \cdot h_1 + \frac{1}{2}AC \cdot h_2$. 又
∵△ABC是等边三角形,
∴BC = AB = AC.
∴h = h_1 + h_2.
(2) h = h_1 + h_2 + h_3. 连接AP, BP, CP, 则$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle CAP} + S_{\triangle BCP}$.
∴$\frac{1}{2}BC \cdot AM = \frac{1}{2}AB \cdot PD + \frac{1}{2}AC \cdot PE + \frac{1}{2}BC \cdot PF$, 即$\frac{1}{2}BC \cdot h = \frac{1}{2}AB \cdot h_1 + \frac{1}{2}AC \cdot h_2 + \frac{1}{2}BC \cdot h_3$. 又
∵△ABC是等边三角形,
∴BC = AB = AC.
∴h = h_1 + h_2 + h_3.
(3) h = h_1 + h_2 - h_3.